Hier zie je een afstandsgrafiek van een versnellende zeilwagen. Voor de afgelegde afstand (in m) geldt waarin de tijd in seconden is. De gemiddelde snelheid in m/s gerekend over de eerste seconden is het differentiequotiënt:
Omdat de zeilwagen aan het versnellen is, zal de snelheid op hoger zijn dan de gemiddelde snelheid over de eerste seconden. Die snelheid op kun je benaderen. Daarbij bereken je differentiequotiënten op steeds kleinere intervallen met als beginwaarde.
Neem het interval .
Het differentiequotiënt op dat interval is:
zolang .
Dat is de gemiddelde snelheid in m/s op het interval .
Laat je nu naar naderen, dan benadert de grenswaarde .
Deze grenswaarde is de snelheid op . Je noteert dit als .
is het differentiaalquotiënt voor , de (veranderings)snelheid op . In plaats van differentiaalquotiënt zeg je ook wel afgeleide waarde.
Bekijk de applet.
Hier zie je een afstandsgrafiek van de versnellende zeilwagen met de koorde die de gemiddelde snelheid op weergeeft.
De snelheid op is de grenswaarde van de gemiddelde snelheid op als naar nadert. Die gemiddelde snelheid is:
De snelheid op is dus m/s.
Het is ook de helling van de raaklijn aan de grafiek voor .
Doe je ditzelfde voor willekeurige , dan krijg je
Dit levert als de waarde nadert een functie op die je aangeeft met .
heet de afgeleide functie of hellingsfunctie van .
Voor de afgelegde afstand van een versnellende zeilwagen in meter geldt: waarin de tijd in seconden is. In de
Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste seconden.
Je gaat nu de snelheid op berekenen. Bereken eerst het differentiequotiënt op het interval en vereenvoudig de gevonden uitdrukking voor .
Hoe groot is het differentiaalquotiënt en dus de snelheid op ?
Voor de afgelegde afstand van een versnellende zeilwagen in meter geldt: waarin de tijd in seconden is.
Je kunt zelf een formule afleiden voor de snelheid als functie van . Stel eerst het differentiequotiënt op het interval op.
Als de waarde nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van . Geef een formule voor de snelheid als functie van .
De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van . Welke betekenis heeft in dit verband?
is de gemiddelde snelheid in de eerste seconden;
is de afgelegde weg in de eerste seconden;
is de snelheid op tijdstip .
Hoe groot is ?
Met behulp van de afgeleide kun je vragen beantwoorden als: Op welk tijdstip rijdt
de zeilwagen km/h?
Bereken het antwoord op die vraag in stappen: