Afgeleide functies

Afgeleide functies > Differentiëren

Overzicht

12345Differentiëren

Verwerken

Opgave 7

Bepaal telkens de afgeleide van de gegeven functie. Bepaal ook het hellingsgetal van de grafiek in $(1, y)$ .

$f (x) = x^{3} - 4 x$

$g (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 35$

$s (t) = 60 t - 4,9 t^{2}$

$H (t) = 2 (t^{2} - 4)$

$y = 5 - {(x - 3)}^{2}$

$P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

$T W (q) = 0,5 q^{3} - 6 q^{2} - 25 q + 112$

$K (x) = (3 x^{2} - 2 a) (a x - 1)$

Opgave 8

Bepaal van elk van de volgende functies de afgeleide. Bereken vervolgens de punten van de grafiek waar de richtingscoëfficiënt van de raaklijn de waarde $0$ heeft. (Eventuele benaderingen in één decimaal nauwkeurig.)

$f (x) = 0,5 x^{4} - 4 x^{2}$

$T W (q) = - q^{3} + 3 q^{2} + 3 q + 6$

$v (t) = t {(t - 1)}^{2}$

$T W = 40 p - 0,02 p^{2}$

Opgave 9

Je ziet hier de grafiek van de functie $f (x) = (x^{2} - 4) (x^{2} - 9)$ .

Laat zien hoe je uit het functievoorschrift de nulpunten van de grafiek van $f$ kunt afleiden.

Bepaal de afgeleide van $f$ .

Bereken het snijpunt van de raaklijnen aan de grafiek van $f$ voor $x = -2$ en voor $x = 2$ .

Los op: $f' (x) = 0$ .

Wat betekent het antwoord van d voor de grafiek van $f$ ?

Opgave 10

Als een voorwerp wordt afgeschoten met een bepaalde beginsnelheid en onder een bepaalde hoek, dan is zijn baan parabolisch als je geen rekening hoeft te houden met de luchtweerstand. Een voorbeeld van zo’n kogelbaan is de grafiek van de functie $h (x) = 1,5 - 0,01 {(x - 10)}^{2}$ . Hierin is $h$ de hoogte van het afgeschoten voorwerp boven de grond (in m) en $x$ de afstand over de grond tot recht onder het afgeschoten voorwerp (in m).

Op welke hoogte werd het voorwerp afgeschoten?

Bereken $h' (0)$ .

Wat betekent dit getal voor de kogelbaan?

Bereken het punt van de kogelbaan waarin $h (x) = 0$ .

In het hoogste punt van de kogelbaan is de afgeleide nul. Toch beweegt de kogel daar met een zekere snelheid. Kun je dit verklaren?

Opgave 11

Voor de productiekosten van een bepaald artikel geldt: $T K = 1200 + 0,2 q^{2}$ . Hierin is $q$ het aantal geproduceerde eenheden van dat artikel en stelt $T K$ de totale kosten in euro voor. De productiekosten per eenheid worden gegeven door $G T K = \frac{T K}{q}$ . Je noemt dit wel de gemiddelde totale kosten.

Druk de gemiddelde totale kosten uit in $q$ .

Met de grafische rekenmachine kun je de grafiek van $G T K$ bekijken. Welke verticale asymptoot heeft de grafiek van $G T K$ ? Welke economische betekenis heeft deze asymptoot?

Je kunt bij deze functie (nog) geen afgeleide bepalen. Maar je kunt er wel een (benadering van de) hellingsgrafiek bij tekenen met je grafische rekenmachine. Teken die hellingsgrafiek en bepaal met behulp daarvan bij welke productie de gemiddelde totale kosten zo laag mogelijk zijn.

Welke waarde benadert de helling van de grafiek van $G T K$ als de productie heel erg groot is? En welke betekenis heeft dat voor de productiekosten per eenheid?

verder | terug