Afgeleide functies

Afgeleide functies > Differentiëren

12345Differentiëren

Uitleg

Bij een functie van de vorm $f (x) = x^{2}$ kun je een afgeleide (functie) $f' (x)$ opstellen door het differentiequotiënt op het interval $[x, x + h]$ te bewerken en dan $h$ naar $0$ te laten naderen:

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 x h + h^{2}}{h} = 2 x + h$

Conclusie: de afgeleide van $f (x) = x^{2}$ is $f' (x) = 2 x$ voor elke waarde van $c$ .

Zo is de afgeleide van $f (x) = x^{3}$ gelijk aan $f' (x) = 3 x^{2}$ voor elke waarde van $c$ .

En ook is de afgeleide van $f (x) = c x^{n}$ gelijk aan $f' (x) = n c x^{n - 1}$ voor elke waarde van $c$ .

Dit laatste resultaat is gemakkelijk te onthouden. Voor het bepalen van de afgeleide van dit type functies (machtsfuncties met gehele positieve exponent) hoef je daarom niet langer met differentiequotiënten te worstelen. Je gebruikt het resultaat hierboven: de afgeleide wordt vermenigvuldigd met de exponent van de machtsfunctie en krijgt een nieuwe exponent die precies $1$ kleiner is dan die van de machtsfunctie zelf.

De afgeleide van $f (x) = 3 x^{7}$ is volgens die methode $f' (x) = 3 \cdot 7 x^{7 - 1} = 21 x^{6}$ .
Dat gaat een stuk makkelijker dan met een differentiequotiënt, niet waar?

Je noemt het gebruik maken van dergelijke regels wel differentiëren en de regels zelf heten differentieerregels. Er zijn er nog veel meer.

Neem bijvoorbeeld de constante functie $f (x) = c$ .
Je kunt eenvoudig laten zien met behulp van een differentiequotiënt dat daarvan de afgeleide $f' (x) = 0$ is.
Dat kun je een tweede differentieerregel noemen.
Hij is ook logisch als je naar de grafiek van deze constante functie kijkt:
van een lijn evenwijdig aan de $x$ -as is de helling overal $0$ .

Voorlopig is er nog één differentieerregel van belang: de zogenaamde somregel. Die regel luidt:

De afgeleide van de som (of het verschil) van twee functies is de som (het verschil) van de afgeleiden van die functies.

Je gebruikt deze differentieerregels bij het vinden van de afgeleide van een functie zoals
$f (x) = 0,1 x^{3} - 3 x^{2} + 25 x + 10$ .
De afgeleide is: $f' (x) = 0,1 \cdot 3 x^{3 - 1} - 3 \cdot 2 x^{2 - 1} + 25 \cdot 1 x^{1 - 1} + 0 = 0,3 x^{2} - 6 x + 25$ .

Opgave 2

Bij een functie van de vorm $f (x) = c x^{2}$ kun je een afgeleide (functie) $f' (x)$ opstellen door het differentiequotiënt op het interval $[x, x + h]$ te bewerken.

Doe dat zelf.

Laat je nu $h$ naar $0$ naderen, dan vind je de afgeleide van $f$ . Bepaal de deze afgeleide.

Op deze wijze kun je van alle functies van de vorm $f (x) = c x^{n}$ de afgeleide bepalen ( $n$ is een willekeurig positief geheel getal): $f' (x) = c n x^{n - 1}$ . Deze differentieerregel vind je ook in de Theorie .

Bepaal met behulp van deze algemene regel de afgeleide van $f (x) = 3 x^{5}$ .

Opgave 3

Voor het bepalen van de afgeleide (de hellingsfunctie) van een gegeven functie $f$ bestaan handige regels die differentieerregels worden genoemd. Bij de Uitleg kun je er een aantal van vinden. Het gebruiken van die regels noem je differentiëren.

De machtsregel helpt bij het differentiëren van machtsfuncties. Bepaal de afgeleide van $f (x) = 12 x^{5}$ .

De andere differentieerregels helpen bij het bepalen van de afgeleide van de som van meerdere functies en bij constanten die je bij een functie optelt. Bekijk Voorbeeld 1.

Bepaal de afgeleide van $g (x) = 12 x^{5} + 20$ .

Bepaal de afgeleide van $h (x) = 12 x^{5} + 20 x^{3}$ .

verder | terug