Afgeleide functies

Opgave 7

Je ziet hier de grafiek van de functie $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ .

Bereken met behulp van differentiëren alle extremen van deze functie.

Opgave 8

Gegeven zijn de functies $f (x) = 4000 - 10 x^{2}$ en $g (x) = (x - 10) (x^{2} - 400)$ .

a

Om de grafieken van beide functies in beeld te krijgen op je grafische rekenmachine moet je de instellingen nogal aanpassen. Bereken eerst de nulpunten van beide functies.

b

Nu weet je welke waarden voor $x$ je het beste kunt instellen. Bereken de extremen van beide functies.

c

Je kunt nu de grafieken natuurlijk heel mooi in beeld krijgen. Los op: $f (x) \geq g (x)$ .

Opgave 9

Om een rechthoekig sportveld ligt een sintelbaan, bestaande uit twee rechte stukken en twee halve cirkels. De totale lengte van de sintelbaan is $400$ m. De afmetingen van het veld zijn zo gekozen dat de oppervlakte van het sportveld maximaal is.

Bereken exact de afmetingen van dit sportveld.

Opgave 10

Een fabrikant van zelfrijzend bakmeel verkoopt dat voor € 2,25 per kilogram. Voor de kosten $T K$ voor productie en opslag geldt:

$q$ (in honderden kg)	1	2	3	4	5	6
$T K$ (in euro)	75	100	125	200	400	800

a

Hoeveel stijgt de winst gemiddeld per kilogram als de productie toeneemt van $400$ naar $500$ kg?

b

Voor de kosten heeft de fabrikant de formule $T K = 10 q^{3} - 60 q^{2} + 130 q$ laten opstellen. Ga na dat deze formule past bij de gegevens in de tabel.

c

Stel een formule op voor de winst als functie van $q$ .

d

Bereken de marginale winst $M W$ bij een productie van $400$ kilo met behulp van $M W (q) = T W' (q)$ . Welke economische betekenis heeft dit getal?

e

Bereken de maximale winst met behulp van de functie $M W$ .

Opgave 11

In een kaasmakerij ligt een voorraad van $400$ kg kaas. De bedrijfsleider wil die voor een zo hoog mogelijke totale opbrengst verkopen. Er zijn twee mogelijkheden:

de kaas ineens verkopen voor € 10,00 per kilo, de partij brengt dan € 6000,00 op;
de kaas een tijdje laten indrogen; deze verliest dan aan gewicht maar wint aan smaak, waardoor de prijs met € 0,25 euro per procent gewichtsvermindering toeneemt.

a

Wat kan de bedrijfsleider het beste doen? Bereken de opbrengst van de partij kaas bij $5$ procent indrogen.

b

Noem het indrogingspercentage $p$ . Stel een formule op voor de totale opbrengst van de partij kaas als functie van $p$ .

c

Bereken het gunstigste indrogingspercentage.

Verwerken