Afgeleide functies

Afgeleide functies > Totaalbeeld

12345Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 8Kurkentrekkers

Kurkentrekkers

In een bedrijf worden kurkentrekkers gefabriceerd. De totale kosten bij de productie kun je aflezen in de grafiek. Een wiskundige van het bedrijf heeft hierbij de volgende formules bedacht:

$K = -0,1 q^{2} + 1,2 q$ als $0 \leq q < 5$
$K = 0,1 q^{3} - 1,1 q^{2} + 3,7 q$ als $q \geq 5$

Hierin is $q$ de productie (in duizendtallen) en $K$ de totale kosten (in duizenden euro). De toename van de totale kosten bij een toename van de productie met één kurkentrekker noem je de marginale kosten. Deze marginale kosten mogen benaderd worden door $\frac{d K}{d q}$ .

Toon door berekening aan dat de marginale kosten bij elke productie positief zijn. Hoe is dit ook uit de grafiek af te leiden?

Toon door berekening aan dat de marginale kosten het kleinst zijn voor $q = 5$ . Hoe is dit ook uit de grafiek af te leiden?

Bereken de gemiddelde totale kosten per kurkentrekker bij een productie van $7000$ stuks. Hoe kun je uit de grafiek afleiden bij welke andere productie de gemiddelde kosten per kurkentrekker even groot zijn als bij een productie van $7000$ stuks? Leid deze andere productie uit de grafiek af en controleer het antwoord met de formules.

(bron: examen wiskunde A vwo 1989)

Opgave 9Toltunnel

Toltunnel

Het aantal personenauto's ( $A$ ) dat per dag van een nieuw aan te leggen toltunnel gebruik zal maken, is volgens een verkeersdeskundige te berekenen met de formule
$A = 400 T^{2} - 9150 T + 46800$
Hierbij is $T$ het toltarief in euro. Toltarieven hoger dan $7$ euro blijven buiten beschouwing. Met het oog op een snelle doorstroming zal de betaling op electronische wijze geschieden. Hierdoor is het mogelijk om een toltarief van bijvoorbeeld € 2,67 in rekening te brengen omdat dit niet op praktische bezwaren stuit.

Bereken de totale dagopbrengst aan tolgeld voor personenauto’s bij een toltarief van € 2,00.

Onderzoek bij welk toltarief de totale dagopbrengst aan tolgeld voor personenauto's maximaal is. Geef je antwoord in centen nauwkeurig.

Bereken met hoeveel procent het aantal personenauto's afneemt als bij een tarief van € 2,40 een tariefsverhoging van $5$ % wordt toegepast.

Bij een zeker toltarief leidt een tariefsverhoging van $6$ % er toe, dat het aantal personenauto’s dat dagelijks de tunnel gebruikt met $2,8$ % afneemt.

Bereken in gehelen nauwkeurig met hoeveel procent de totale dagopbrengst aan tolgeld voor personenauto's door deze tariefsverhoging zal toenemen.

(bron: examen wiskunde A vwo 1992, aangepast)

Opgave 10Tennis

Tennis

Bij sporten als volleybal en tennis is de service erg belangrijk, dat wil zeggen de manier waarop de bal in het spel gebracht wordt. We bekijken hier de service bij tennis. De speler staat bij het serveren $12$ meter van het net. Het net is $1$ meter hoog. We nemen aan dat de speler de bal raakt op een hoogte van $2,5$ meter boven de grond en ter vereenvoudiging gaan we er van uit dat de speler de bal precies in de lengterichting van het veld slaat. In de eerste figuur zie je een mogelijke baan van de bal.

De hoogte van de onderkant van de bal in meter ten opzichte van de grond noemen we $h$ . De horizontale afstand in meter noemen we $a$ . Het verband tussen $h$ en $a$ hangt af van de snelheid waarmee de bal geslagen wordt en van de beginrichting. Deze beginrichting wordt bepaald door de slaghoek. Dit is de hoek waaronder de bal geslagen wordt. Zie eerste figuur.

Neem aan dat de bal onder een hoek van $15$ ° geslagen wordt met een snelheid van $v$ m/s. Bij deze hoek geldt bij benadering het volgende verband tussen $a$ en $h$ :
$5,36 h = \frac{-5,36}{v^{2}} a^{2} + 0,27 a + 2,50$
Een speler slaat de bal met een snelheid van $17$ m/s. Bereken met behulp van differentiëren de grootste hoogte boven de grond die deze bal bereikt.

In deze vereenvoudigde situatie spreken we van een geldige service als:

de speler die serveert $12$ meter van het net staat;
de bal precies in de lengterichting van het veld geslagen wordt;
de bal over het net gaat zonder dit te raken;
de bal neerkomt op een afstand van ten hoogste $7$ meter voorbij het net.

In een artikel over dit onderwerp stond deze grafiek. Daarin is weergegeven bij welke combinaties van slaghoek en snelheid een geldige service verkregenwordt. Een speler die de bal slaat onder een hoek van 30° moet volgens deze grafiek de bal slaan met een snelheid van ongeveer $11$ tot $13$ m/s. Slaat hij te zacht dan komt de bal niet over het net. Slaat hij te hard dan komt de bal te ver voorbij het net op de grond. Een profspeler slaat bij een geldige service de bal met een snelheid van $150$ km/h.

Bepaal met behulp van de grafiek de beginrichting van een mogelijke baan van deze bal.

Neem nu aan dat de bal onder een hoek van $10$ ° geslagen wordt. Bij deze hoek geldt bij benadering de volgende formule voor het verband tussen $a$ en $h$ :
$5,16 h = \frac{-5,36}{v^{2}} a^{2} + 0,18 a + 2,50$
Voor een geldige service moet de bal over het net gaan zonder dit te raken. De snelheid is te laag als in bovenstaande formule bij afstand $a = 12$ de hoogte $h \leq 1$ is. Volgens de grafiek is een snelheid van $16$ m/s of minder te laag voor een geldige service. Echter, met behulp van een berekening is na te gaan dat de figuur hier erg onnauwkeurig is getekend.

Welke snelheden (in m/s) zijn volgens de formule te laag voor een geldige service? Geef je antwoord in ten minste één decimaal nauwkeurig.

Voor een geldige service moet de bal bovendien ten hoogste $7$ meter voorbij het net de grond raken. Uit deze eis volgt ook een voorwaarde voor $v$ .

Welke getallen moet je in de bovenstaande formule invullen om deze voorwaarde te krijgen? Licht je antwoord toe.

(bron: examen wiskunde A vwo 2000, eerste tijdvak)

verder | terug