Afgeleide functies

Opgave 1

Differentieer de volgende functies:

a

$f (x) = 4 x^{5} - 12 x^{2} + 60 x + 100$

b

$E (t) = 1 + t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{6} + \frac{t^{4}}{24}$

c

$f (x) = {(a x + b)}^{2}$

d

$G T K (q) = \frac{0,5 q^{3} + 20 q^{2} + 60 q}{q}$

Opgave 2

Bekijk de grafiek van $f (x) = 2 x^{3} - x^{4}$ op het interval $[-1,5; 2,5]$ .

a

De grafiek heeft twee punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Toon met behulp van differentiëren aan, dat er toch maar één extreme waarde is.

b

De grafiek van $f$ heeft behalve $(0, 0)$ nog een buigpunt. Bereken de coördinaten van dat punt.

c

Stel de raaklijn op aan de grafiek in het bij b bedoelde buigpunt.

Opgave 3

Gegeven zijn de functie $f$ met $f (x) = 0,5 x^{3} - 2 x$ .

a

Bereken de extremen van deze functie met behulp van differentiëren.

b

Laat zien dat $(0, 0)$ het buigpunt is van de grafiek van $f$ .

c

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het buigpunt.

Opgave 4

Een fabriek produceert opvouwbare autopeds voor volwassenen als vervoermiddel in grotere bedrijfshallen. Het bedrijf heeft als enige producent een monopoliepositie. Daarom hangt hun afzet $q$ (in duizendtallen) uitsluitend af van de prijs $p$ in euro: $q = 12 - 0,1 p$ . De kosten voor de productie van deze autopeds zijn gegeven door een door de bedrijfswiskundige opgesteld model: $T K = 1,5 q^{3} - 22,5 q^{2} + 120 q$ . Hierin is $T K$ gegeven in duizendtallen euro.

a

Toon aan dat geldt: $p = 120 - 10 q$ . Welke waarden kan $q$ aannemen?

b

Stel een formule op voor de opbrengst $T O$ als functie van $q$ .

c

Stel een formule op voor de winst $T W$ als functie van de afzet $q$ .

d

Bepaal met behulp van differentiëren de prijs van één autoped bij maximale winst.

e

Geef een formule voor de gemiddelde totale kosten $G T K$ als functie van $q$ . Bepaal met behulp van differentiëren bij welke afzet $G T K$ minimaal is.

Opgave 5

Gegeven zijn de functies: $f (x) = (x^{2} - 4) (2 x + 1)$ en $g (x) = x^{2} - 4$ .

a

Bepaal algebraïsch de nulpunten en de toppen van de grafiek van $f$ .

b

Los op: $f (x) > g (x)$ .

Testen