Onder differentiëren versta je het bepalen van de afgeleide $f\text{'}$ van een functie $f$ met behulp van differentieerregels.

Die differentieerregels vind je vanuit de definitie van afgeleide: $f\text{'}\left(x\right)\to \frac{(f(x+h)-f\left(x\right))}{h}$ als $h\to 0$.
(Bekijk eventueel de theorie bij Het begrip afgeleide nog eens.)

De somregel (elke term mag je afzonderlijk differentiëren), de machtsregel en de constanteregel.

Eerst haakjes uitwerken tot $f\left(x\right)=8x^3$ en dan is $f\text{'}\left(x\right)=24x^2$.

Het uitwerken van de haakjes is nu een zeer tijdrovende bezigheid, hoewel niet onmogelijk!

Je kunt $f\left(x\right)$ voor $x\ne 0$ schrijven als $f\left(x\right)=2+3x$ met afgeleide $f\left(x\right)=3$.
Je kunt $g\left(x\right)$ niet vereenvoudigen tot een functie zonder $x$ in de noemer en voor dergelijke functies heb je nog geen differentieerregel geleerd.

$f\text{'}\left(x\right)=-1\frac{1}{2}{x}^2$

$K\text{'}\left(q\right)=6q^2+120q-100$

$I\text{'}\left(d\right)=\frac{1}{2}\pi d^2$

$f\text{'}\left(x\right)=2x-20$

$f\text{'}\left(x\right)=4x^3+6$

$H\text{'}\left(t\right)=25-10t$

$T\text{'}\left(p\right)=3a^2{p}^2-a$

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2+16x+16$

Nulpunten zijn $(0,0)$ en $(20,0)$. Venster Xmin = -5, Xmax = 25, Ymin = -1500 en Ymax = 1000.

$f\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^3-10x^2$ geeft $f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{1,5}{x}^2-20x$.

$f\text{'}\left(x\right)=0$ levert op $x=0\vee x=\frac{40}{3}\approx \mathrm{13,33}$, dus de extremen zijn (in gehelen nauwkeurig) max.$f\left(0\right)=0$ en min.$f\left(13\right)\approx -593$.

$f\text{'}\left(10\right)=-50$.

$x=40-2h$ of $h=20-\mathrm{0,5}x$ met $x$ en $h$ in cm.

$H\left(x\right)=200(20x-\mathrm{0,5}{x}^2)=4000x-100x^2$

$H\text{'}\left(x\right)=4000-200x=0$ geeft $x=20$.

€ 2000. Dit kunnen bijvoorbeeld de kosten zijn voor een machine om deze apparaten te maken.

$\frac{\text{d}K}{\text{d}q}=K\text{'}\left(q\right)=12q^2-144q+600$

Venster: Xmin = 0, Xmax = 20, Ymin = 0 en Ymax = 20000.

Eerst afnemende stijging, dan weer toenemende stijging gebeurt in een minimum van de afgeleide $K\text{'}$.
$K"\left(q\right)=24q-144=0$ als $q=6$.
Dit gebeurt dus in het punt $(6,3072)$.

$f\text{'}\left(x\right)=30x^5-65x^4+10$

$f\text{'}\left(x\right)=2ax+b$

$P\text{'}\left(I\right)=2RI$

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4x^3-20x$

$f\text{'}\left(x\right)=-64x^7$

$f\text{'}\left(x\right)=6a{x}^2-3a^2$

$\frac{\text{d}A}{\text{d}r}=2\pi r+2l$

$h\text{'}\left(x\right)=600x-180x^2+12x^3$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{12}{5}{x}^2-6x=0$ geeft$x=0\vee x=\mathrm{2,5}$.
Uit de grafiek of een tekenschema van $f\text{'}$ lees je af dat er twee extremen zijn, namelijk min.$f\left(\mathrm{2,5}\right)=\mathrm{-6,25}$ en max.$f\left(0\right)=0$.

$f^{\text{'}}(5)=30$

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{24}{5}x-6=0$ geeft $x=\mathrm{1,25}$.
Uit de grafiek of een tekenschema van $f\text{'}\text{'}$ lees je af dat er één buigpunt is, namelijk $(\mathrm{1,25};\mathrm{-3,25})$.

$y\text{'}\left(x\right)=3x^2-10x+7$ geeft $y\text{'}\left(2\right)=-1$.

$y\text{'}\left(x\right)=-1$ geeft $3x^2-10x+8=0$. Deze vergelijking heeft twee oplossingen dus er is nog een punt op de grafiek waarin de hellingwaarde van de grafiek $-1$ is.

$I\left(x\right)=x(20-2x)(60-2x)=1200x-160x^2+4x^3$

$I\text{'}\left(x\right)=12x^2-320x+1200=0$ geeft $x=\frac{80\pm \sqrt{2800}}{6}$.
Aan de grafiek van $I$ zie je dat de inhoud maximaal is als $x=\frac{80-\sqrt{2800}}{6}\approx \mathrm{4,5}$ cm.

$f\left(x\right)=x^5-40x^4+400x^3$ geeft $f\text{'}\left(x\right)=5x^4-160x^3+1200x^2$.
En $f\text{'}\left(x\right)=0$ levert op: $x=0\vee x=12\vee x=20$.

Voor $x=0$ wisselt de afgeleide niet van teken, zowel links als rechts van $x=0$ is de grafiek van $f$ stijgend.

$f\text{'}\left(x\right)=-2x^3+3$

$f\text{'}\left(x\right)=-12x-4x^3$

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2x-1$

$f\text{'}\left(x\right)=a-3a{x}^2$

$H\text{'}\left(t\right)=12p{t}^2$

$\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=6000t-300t^2-80t^3$

$f\left(2\right)=7$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x+1$ geeft $f\text{'}\left(2\right)=\frac{19}{3}$.

$y\text{'}\left(x\right)=-3x^2+12x=0$ geeft $x=0\vee x=4$.
M.b.v. de grafiek: min.$f\left(0\right)=-10$ en max.$f\left(4\right)=22$

$y\text{'}\text{'}\left(x\right)=-6x+12=0$ geeft $x=2$.
Het bedoelde punt is $(2,6)$.