Differentieerregels

Opgave 6

Bepaal van de volgende functies de afgeleide.

a

$f (x) = (x^{3} + 6) (4 x^{2} - 5 x)$

b

$g (x) = (10 - x) \cdot \sqrt{x}$

c

$R (t) = 3 t {(t + 5)}^{4}$

d

$y (x) = x \cdot \sqrt{5 + x^{2}}$

e

$y (x) = x - \sqrt{5 + x^{2}}$

f

$V (r) = (100 - \frac{5}{r}) {(20 - r)}^{2}$

Opgave 7

Hier zie je de grafieken van de functies $y_{1} (x) = x^{2}$ en $y_{2} (x) = {(2 x - 8)}^{4}$ . De functie $f (x) = y_{1} (x) \cdot y_{2} (x)$ is de productfunctie van beide.

a

De nulpunten van $f$ kun je uit de gegeven grafieken afleiden. Welke nulpunten heeft de grafiek van $f$ ?

b

Toon aan dat $f' (x) = {(2 x - 8)}^{3} (12 x^{2} - 16 x)$

c

Bepaal met behulp van de afgeleide de extremen van $f$ .

d

Voor welke waarden van k heeft de vergelijking $f (x) = k$ precies vier oplossingen?

Opgave 8

Gegeven is de functie $f (x) = 4 x \sqrt{x} \cdot {(1 - x)}^{3}$ .

a

Voor welke waarden van $x$ heeft de grafiek een raaklijn evenwijdig aan de $x$ -as?

b

Deze functie heeft twee extremen. Welke twee?

Opgave 9

Hier zie je de grafiek van de functie $f (x) = x \cdot \sqrt{8 - x^{2}}$ zoals een grafische rekenmachine hem maakt.

a

De grafiek is onvolledig. Dat kun je bijvoorbeeld zien aan de nulpunten van deze functie. Welke nulpunten heeft de grafiek van $f$ ?

b

Bereken met behulp van differentiëren het bereik van $f$ .

c

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in $(0, 0)$ .

Opgave 10

Gegeven is de functie $f (x) = 0,25 x^{2} - x \sqrt{x}$ .

a

Bereken algebraïsch het bereik van $f$ .

b

Bereken de coördinaten van het buigpunt van de grafiek van $f$ .

c

Voor welke $p$ is de lijn met vergelijking $y = 2 x + p$ een raaklijn aan de grafiek van $f$ ?

Opgave 11

Iemand wil met behulp van een viertal even grote rechthoekige kozijnen een serre aan zijn huis bouwen. Elk van die kozijnen is $2,5$ hoog en $3$ breed. Hij bestudeert eerst de mogelijke opstellingen waarbij twee kozijnen $A B$ en $D E$ loodrecht op de muur worden bevestigd. De andere twee $B C$ en $C D$ worden zo geplaatst dat de vloeroppervlakte van de serre maximaal wordt.

a

De afstand tussen de twee kozijnen die loodrecht op de muur staan is $2 x$ . Toon aan dat voor de vloeroppervlakte $A$ van de serre geldt: $A (x) = 6 x + x \cdot \sqrt{9 - x^{2}}$ .

b

Bereken algebraïsch de grootst mogelijke vloeroppervlakte van deze serre.

Verwerken