Differentieerregels

Differentieerregels > De productregel

123456De productregel

Uitleg

Als lengte en breedte van een rechthoek functies van $x$ zijn, is de oppervlakte $A$ een productfunctie in $x$ : $A (x) = f (x) \cdot g (x)$ Je kunt de oppervlakte van deze rechthoek variëren door $x$ te laten toenemen tot $x + h$ . De nieuwe oppervlakte wordt dan:
$A (x + h) = f (x + h) \cdot g (x + h)$ .

Je ziet dat de toename van $A (x)$ uit drie rechthoekjes bestaat:

een rechthoekje met een oppervlakte van $f (x) \cdot (g (x + h) - g (x))$ ;
een rechthoekje met een oppervlakte van $g (x) \cdot (f (x + h) - f (x))$ ;
een verwaarloosbaar klein rechthoekje, waarvan de oppervlakte $0$ wordt als $h$ naar $0$ nadert.

Deel je die toename door $h$ , dan geldt dus:
$\frac{A (x + h) - A (x)}{h} \approx f (x) \cdot \frac{g (x + h) - g (x)}{h} + g (x) \cdot \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

En voor $h$ naar $0$ wordt dat: $A' (x) = f (x) \cdot g' (x) + g (x) \cdot f' (x)$ .

Je hebt nu een manier gevonden om de afgeleide van een productfunctie te bepalen. Tenminste als $f$ en $g$ stijgende functies zijn met positieve functiewaarden.

Opgave 2

Een productfunctie als $P (t) = f (t) \cdot g (t)$ kun je opvatten als de oppervlakte van een rechthoek met lengte $f (t)$ en breedte $g (t)$ die met de tijd $t$ veranderen. (Als alle functiewaarden positief zijn.) Als je wilt kijken naar de veranderingen van die oppervlakte, dan kijk je naar het differentiequotiënt op het interval $[t, t + h]$ .

De toename van de oppervlakte op $[t, t + h]$ is

$Δ P = Δ f (t) \cdot Δ g (t)$

$Δ P = f (t) \cdot Δ g (t) + g (t) \cdot Δ f (t) + Δ f (t) \cdot Δ g (t)$

$Δ P = f (t) \cdot Δ g (t) + g (t) \cdot Δ f (t)$

Uit de toename van de oppervlakte kun je een regel voor het differentiëren van $P (t) = f (t) \cdot g (t)$ afleiden. Bekijk dit in de Uitleg . Schrijf die regel op.

Stel je voor dat $f (t) = t^{2}$ en dat $g (t) = t^{4}$ . Bepaal nu met behulp van de productregel voor differentiëren de afgeleide van de productfunctie.

verder | terug