$t\left(x\right)=x$ en $n\left(x\right)=x-2$

$f\left(x\right)=x\cdot {(x-2)}^{-1}$ geeft $f\text{'}\left(x\right)=1\cdot {(x-2)}^{-1}+x\cdot -1{(x-2)}^{-2}\cdot 1=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{{(x-2)}^2}$.

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1\cdot (x-2)-1\cdot x}{{(x-2)}^2}=\frac{-2}{{(x-2)}^2}$

Maak bij de versie van vorige opgave de breuken gelijknamig en tel ze op.

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1\cdot x-1\cdot (x+1)}{x^2}=\frac{-1}{x^2}$

$f\left(x\right)=1+\frac{1}{x}=1+x^{-1}$ geeft $f\text{'}\left(x\right)=-1x^{-2}=\frac{-1}{x^2}$.
Als je handig bent met machten gaat de tweede manier bijna uit het hoofd!

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{(2x+1)\cdot 6x-(3x^2-4)\cdot 2}{{(2x+1)}^2}=\frac{6x^2+6x+8}{{(2x+1)}^2}$

$f\text{'}(x)=\frac{-8}{{(x-2)}^3}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{{(4+x^2)}^{\frac{1}{2}}\cdot 3-(3x-1)\cdot \frac{1}{2}{(4+x^2)}^{\mathrm{-}\frac{1}{2}}\cdot 2x}{4+x^2}=\frac{3(4+x^2)-x(3x-1)}{{(4+x^2)}^{1\frac{1}{2}}}=\frac{12+x}{(4+x^2)\sqrt{4+x^2}}$

Schrijf eerst $f\left(x\right)=\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1$ (als $x\ne -1$).
Dan is $f\text{'}\left(x\right)=1$ (als $x\ne -1$).

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{3x^2-x^6}{{(1+x^4)}^2}=0$ geeft $x=0\vee x=\pm \sqrt[4]{3}\approx \pm \mathrm{1,32}$.
Je vindt max.$f\left(\mathrm{1,32}\right)\approx \mathrm{0,57}$ en min.$f\left(\mathrm{-1,32}\right)\approx \mathrm{-0,57}$.

$f\text{'}\left(2\right)=\mathrm{-}\frac{52}{289}$ en de raaklijn wordt $y=\mathrm{-}\frac{52}{289}x+\frac{240}{289}$.

$f\prime \left(x\right)=\frac{-x^2-2x+16}{{(x^2-16x)}^2}$

$y\prime \left(x\right)=\frac{-2x+4}{{(x^2-4x+5)}^2}$

$H\prime \left(t\right)=\frac{-3t-48}{3t\sqrt{2t+6}}$

$\frac{\text{d}GTK}{\text{d}q}=4q-10-\frac{120}{q^2}$

$f\prime \left(x\right)=\frac{-2x^2-20}{{(x^2-10)}^2}$

$y\prime \left(x\right)=\frac{-24x}{{(1-3x^2)}^2}$

$A\prime \left(r\right)=\frac{4r+16}{(4r+8)\sqrt{4r+8}}$

$GO\prime \left(p\right)=200-\frac{2000}{p^2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{8x^2--24x+32}{{(x^2+4)}^2}$ geeft $x=-4\vee x=1$.
Met behulp van de grafiek vind je: min.$f\left(-4\right)=-1$ en max.$f\left(1\right)=4$.

$f\left(x\right)=\frac{3}{2}$ geeft $x=\mathrm{-}\frac{2}{3}\vee x=6$. Met de grafiek vind je: .

Lijn door $A(\mathrm{-1,5};0)$ en $B(0,3)$ is $y=2x+3$. Deze lijn kan de grafiek alleen raken in $A$ of $B$. Nu is $f\prime \left(\mathrm{-1,5}\right)\ne 2$ en $f\prime \left(0\right)=2$. Dus raakt lijn $AB$ de grafiek in $B$.

Stel de breedte is $x$ cm, dan is de lengte $4x$ cm. En dan is $4x^{2}h=1000$ dus $h=\frac{250}{x^2}$.
Hieruit volgt voor de lengte $L$ van het lint: $L\left(x\right)=10x+\frac{1000}{x^2}$.

$L\prime \left(x\right)=10-\frac{2000}{x^3}=0$ geeft $x^3=200$ en dus $x\approx \mathrm{5,8}$ cm.
Met behulp van de grafiek van $L$ of een tekenschema van $L\prime$ zie je dat $L$ een minimum heeft voor $x\approx \mathrm{5,8}$. De afmetingen van het doosje zijn dan: $\mathrm{5,8}\times \mathrm{23,4}\times \mathrm{7,3}$ (in cm).

$GTK=4q^2-72q+600+\frac{2000}{q}$

$GTK\text{'}\left(q\right)=8q-72-\frac{2000}{\left(q^2\right)}$

Venster: Xmin = 0, Xmax = 20, Ymin = 0 en Ymax = 3000.

$GTK\text{'}\left(q\right)=0$ geeft $q=\mathrm{11,05}$. Aan de grafiek zie je dat $GTK$ minimaal is als de maandproductie $1105$ nietmachines is.

$P\left(R\right)=\frac{144R}{{(R+12)}^2}$

$P\prime \left(R\right)=\frac{-144R+1728}{{(R+12)}^3}=0$ geeft $R=12$ ohm.
Het maximaal ontwikkelde vermogen is $P\left(12\right)=3$ watt.

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{7}{{(1-x)}^2}$

$g\text{'}\left(x\right)=\frac{\mathrm{0,5}-\mathrm{2,5}{x}^3}{{(1+x^3)}^2\sqrt{x}}$

$H\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{{(t+1)}^2}$

$y\text{'}\left(x\right)=\frac{-4x^5+4x^3-8x}{{(1+x^2)}^5}$

$f\left(x\right)=\frac{-10x^2+80x-100}{{(x^2-10)}^2}=0$ geeft $x\approx \mathrm{1,55}\vee x\approx \mathrm{6,45}$.
Met behulp van de grafiek vind je: min.$f\left(\mathrm{1,55}\right)\approx \mathrm{3,22}$ en max.$f\left(\mathrm{6,45}\right)\approx \mathrm{0,78}$.

In $P$ is $f\text{'}\left(0\right)=-1$, de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in P is $y=\mathrm{-}x+4$.

$MK\left(q\right)=TK\text{'}\left(q\right)=q^2-10q+40$

$MK\left(1\right)=31$. Dit getal is de hellingwaarde van de grafiek van $TK$ voor $q=1$.
Het betekent dat bij een dagproductie van $10$ stuks de kostenstijging bij het opvoeren van de productie $31$ euro per stuk is.

$MK\text{'}\left(q\right)=2q-10=0$ geeft $q=5$.
Dus bij een dagproductie van $50$ stuks.

$GTK=\frac{1}{3}{q}^2-5q+40$ en $GTK\text{'}\left(q\right)=\frac{2}{3}q-5=0$ als $q=\mathrm{7,5}$.