Differentieerregels

Differentieerregels > Modellen

Overzicht

123456Modellen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Zie de Uitleg .

Opgave 2

$lengte = 20 - 2 x$ , $breedte = 12 - 2 x$ en $hoogte = x$ .

$I (x) = 240 x - 64 x^{2} + 4 x^{3}$ en $I' (x) = 240 - 128 x + 12 x^{2} = 0$ als $x = \frac{128 \pm \sqrt{4864}}{24}$ .
Dit levert als enige bruikbare antwoord op $x \approx 2,43$ .

Opgave 3

Doen.

Zie Voorbeeld 1.

$A' (r) = \frac{-2000}{r^{2}} + 4 π r = 0$ geeft $r^{3} = \frac{2000}{4 π}$ en dus $r \approx 5,42$ .

Opgave 4

Doen.

Zie Voorbeeld 2.

$T W' (q) = -0,75 q^{2} + 5 \frac{1}{3} q + 1,5 = 0$ geeft $q \approx 7,38$ (de negatieve waarde vervalt).

Opgave 5

Doen.

Zie Voorbeeld 3.

$T K' (x) = - \frac{B \cdot V}{x^{2}} + \frac{E \cdot P}{(200)} = 0$ geeft $\frac{B \cdot V}{x^{2}} = \frac{E \cdot P}{200}$ en dus $E \cdot P \cdot x^{2} = 200 \cdot B \cdot V$ , zodat $x^{2} = \frac{200 \cdot B \cdot V}{E \cdot P}$ .
Negatieve waarden voor $x$ zijn in dit verband onzinnig, dus moet $x = \sqrt{\frac{200 \cdot B \cdot V}{E \cdot P}}$ het gewenste minimum opleveren.

Opgave 6

Neem de bestelgrootte $x$ , dan zijn de bestelkosten: $B (x) = \frac{1500}{x} \cdot 15 = \frac{22500}{x}$ .

Opslagkosten: $O (x) = \frac{1}{2} x \cdot 700 \cdot 0,09 = 31,5 x$ .

Totale kosten: $T K (x) = \frac{22500}{x} + 31,5 x$ .

$T K' (x) = \frac{-22500}{x^{2}} + 31,5 = 0$ geeft $x \approx 26,72$ .
De optimale bestelgrootte is $27$ .

Opgave 7Posters

Posters

Doen.

Doen

$A (x) = (x - 2) (\frac{100}{x} - 3)$

$A' (x) = -3 + \frac{200}{x^{2}} = 0$ geeft $x^{2} = \frac{200}{3}$ en dus $x \approx 8,2$ dm.

De poster moet ongeveer $8,2$ bij $12,2$ dm worden.

Opgave 8Ladderprobleem

Ladderprobleem

$Δ A B C$ is gelijkvormig met $Δ A D E$ , dus $\frac{x}{(x + 1)} = \frac{3}{(D E)}$ zodat $D E = \frac{3 x + 3}{x} = 3 + \frac{3}{x}$ .
De lengte van de ladder is $L (x) = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(3 + \frac{3}{x})}^{2}}$ .
Met behulp van differentiëren bepaal je nu het minimum van $l (x) = {(x + 1)}^{2} + {(3 + \frac{3}{x})}^{2}$ .
Je vindt een minimale lengte van $7,56$ m.

Opgave 9Regenpakken

Regenpakken

De bestelkosten per keer zijn € 10, de bestelgrootte is $x$ . Bestelkosten: $B (x) = \frac{1200}{x} \cdot 10 = \frac{12000}{x}$ .
De opslagkosten zijn: $O (x) = \frac{1}{2} x \cdot 35 \cdot 0,07 = 1,225 x$ .
De totale kosten zijn: $T K (x) = \frac{12000}{x} + 1,225 x$ en $T K' (x) = \frac{-12000}{x^{2}} + 1,225 = 0$ geeft $x \approx 98,97$ .
De optimale bestelgrootte is $99$ .

Opgave 10Gas afbranden

Gas afbranden

De grafiek bestaat uit twee delen: een lijnstuk van $(0, 40)$ tot $(600, 196)$ en dan een halve lijn vanaf $(600, 176)$ .

Als $a < 600$ is $K = 40 + 0,26 a$ .
Als $a \geq 600$ is $K = 80 + 0,16 a$ .

Bij $a = 600$ .

Ze wilden graag grootverbruikerstarief hebben. Bepaal het snijpunt van de lijnen: $40 + 0,26 a = 80 + 0,16 a$ geeft $a = 400$ .

Je moet het vastrecht dan verhogen naar € 100.

De hellingen van beide lijnen zijn verschillend.

Opgave 11Camping

Camping

Neem een kampeerplaats $x$ bij $x$ meter. Voor iedere plaats is dan nodig $x^{2} + 20$ m². Omdat je over $1$ ha beschikt, kun je $\frac{10000}{(x^{2} + 20)}$ plaatsen aanleggen. De prijs per overnachting wordt $2, 50 x + 4, 50$ .
De totale opbrengst per nacht wordt $T O (x) = \frac{10000}{x^{2} + 20} \cdot (2,50 x + 4,50) = \frac{25000 x + 450000}{x^{2} + 20}$ .
$T O$ maximaliseren: $T O' (x) = \frac{-25000 x^{2} - 90000 x + 500000}{{(x^{2} + 20)}^{2}} = 0$ geeft $x \approx 3,02$ (andere mogelijkheid vervalt).
een kampeerplaats wordt ongeveer $3$ m breed.

Opgave 12De prijs van yoghurt

De prijs van yoghurt

Neem $x$ het aantal keer $4$ cent prijsverlaging. De prijs wordt dan $90 - 4 x$ en er worden $1000 + 100 x$ pakken verkocht.
De winst is: $W (x) = (90 - 4 x) (1000 + 100 x) = -400 x^{2} - 1000 x + 30000$ .

Winst maximaliseren: $W' (x) = -800 x - 1000 = 0$ geeft $x = -1,25$ . De prijs van een pak moet dan $95$ cent zijn. De omzet is dan $875$ pakken.

Nee, het zou zelfs beter zijn de prijs te verhogen.

Opgave 13Opslagruimte

Opslagruimte

Neem voorkant loods $x$ m, zijkant loods is dan $\frac{5000}{x}$ m.
De oppervlakte van het terrein wordt $A (x) = (x + 10) (\frac{5000}{x} + 13) = 5130 + 13 x + \frac{50000}{x}$ .
$A (x)$ minimaliseren: $A' (x) = 13 - \frac{50000}{x^{2}} = 0$ geeft $x \approx 62$ m.
De fabrikant moet dus een rechthoekig stuk grond van ongeveer $62$ bij $81$ m kopen.

verder | terug