Differentieerregels

Differentieerregels > Modellen

123456Modellen

Voorbeeld 2

ChemoTech brengt een nieuw onkruidbestrijdingsmiddel CHIF voor de landbouw op de markt. De productiekosten zijn hetzelfde als voor bestaande bestrijdingsmiddelen, er is een kostenmodel voorhanden: $T K = 0,25 q^{3} - 3 q^{2} + 18 q + 30$ waarin $q$ het aantal kg (× 1000) CHIF voorstelt en $T K$ de totale kosten in duizenden euro.
Voor de opbrengst wordt aangenomen dat $58500$ kg/maand beschikbaar en dat bij een prijs van $18$ euro per kg de verkoop $4500$ kg/maand zal zijn. De verkoop $q$ hangt lineair af van de prijs $p$ . Welke winst kan ChemoTech met deze gegevens maximaal maken?

> antwoord

Uitgaande van ChemoTech als monopolist voor dit type onkruidbestrijdingsmiddel hangt de verkoop $q$ lineair af van de prijs $p$ . Het gaat daarbij dus op een functie van de vorm $q = a \cdot p + b$ waarvan de grafiek door $(0; 58,5)$ en $(18; 4,5)$ gaat.
Ga na dat daaruit volgt: $q = -3 p + 58,5$ .

Voor de totale winst $T W$ geldt dan: $T W = T O - T K$ als $T O$ de totale opbrengst is. Omdat $T K$ in $q$ is uitgedrukt, wordt ook $T W$ in $q$ uitgedrukt:
$T W = p \cdot q - (0,25 q^{3} - 3 q^{2} + 18 q + 30) =$
$= (19,5 - \frac{1}{3} q) \cdot q - (0,25 q^{3} - 3 q^{2} + 18 q + 30)$ .
Je ziet dat de formule voor $q$ als functie van $p$ hiervoor is herschreven.
De winstfunctie wordt dus: $T W = -0,25 q^{3} + 2 \frac{2}{3} q^{2} + 1.5 q - 30$ .
De maximale winst is nu te vinden met behulp van differentiëren, de grafische rekenmachine of een kostenmodel in Excel.

Opgave 4

Bekijk het probleem in Voorbeeld 2.

Probeer eerst om (zonder naar het antwoord te kijken) zelf een oplossing te vinden.

Bekijk nu de oplossing. Als je zelf een andere of geen oplossing hebt gevonden, probeer dan de gegeven formule voor $T W$ af te leiden.

Bereken met behulp van differentiëren voor welke $q$ de waarde van $T W$ maximaal is.

verder | terug