Differentieerregels

Differentieerregels > Modellen

123456Modellen

Voorbeeld 3

Een winkelier die een bepaald product wil verkopen moet daarvan voldoende in voorraad hebben. Hij bestelt dit product bij de fabrikant. Daarvoor betaalt hij bestelkosten. Hoe vaker hij bestelt, hoe hoger de bestelkosten. Maar ja, als hij niet vaak bestelt moet hij zelf een grotere voorraad hebben en daarvoor maakt hij voorraadkosten.
Stel je voor dat de jaarlijkse vraag $V$ exemplaren bedraagt, de bestelkosten $B$ euro per bestelling zijn, elk exemplaar $E$ euro kost en dat de voorraadkosten $P$ procent van de kostprijs van de voorraad bedragen. De winkelier doet een aantal bestellingen per jaar van steeds evenveel exemplaren. Welke bestelgrootte is het gunstigst voor hem?

> antwoord

Noem de bestelgrootte $x$ en ga er van uit dat hij jaarlijks $V$ exemplaren koopt. Dan zijn:

de kosten voor alle bestellingen samen $B \cdot \frac{V}{x}$ ;
de voorraadkosten te berekenen door uit te gaan van het in voorraad hebben van de halve bestelgrootte (aan het begin van de periode alle exemplaren, aan het einde niets meer, dus gemiddeld de helft), ze bedragen daarom $\frac{1}{2} \cdot x \cdot E \cdot \frac{P}{100}$ .

De totale kosten voor de winkelier zijn dus: $T K (x) = B \cdot \frac{V}{x} + \frac{1}{2} x \cdot E \cdot \frac{P}{100} + V \cdot E$ .
Van deze functie is met behulp van de afgeleide een minimum te berekenen.
De afgeleide is: $\frac{d T K}{d x} = - B \cdot \frac{V}{x^{2}} + \frac{E \cdot P}{200}$ en $\frac{d T K}{d x} = 0$ geeft: $x = \sqrt{\frac{200 \cdot B \cdot V}{E \cdot P}}$ .
Deze bestelgrootte levert de minste kosten voor de winkelier op.

Opgave 5

Bekijk het probleem in Voorbeeld 3.

Probeer eerst om (zonder naar het antwoord te kijken) zelf een oplossing te vinden.

Bekijk nu de oplossing. Als je zelf een andere of geen oplossing hebt gevonden, probeer dan de gegeven formule voor $T K$ af te leiden.

Laat met behulp van differentiëren zien dat een bestelgrootte van $x = \sqrt{\frac{200 \cdot B \cdot V}{E \cdot P}}$ de minste kosten voor de winkelier oplevert.

Opgave 6

Een bedrijf brengt droogtrommels op de markt. Er is een vraag naar droogtrommels van $1500$ stuks per jaar. Voor de opslagkosten moet je rekenen met een rentepercentage van $9$ %. De productieprijs is € 700, en de prijs voor het plaatsen van een bestelling is € 25.

Stel een formule op voor het verband tussen de totale bestelkosten en de bestelgrootte.

Stel een formule op voor het verband tussen de opslagkosten en de bestelgrootte.

Stel een formule op voor het verband tussen de totale kosten en de bestelgrootte.

Bereken de optimale bestelgrootte.

verder | terug