$f\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$f\text{'}\left(x\right)=4\sqrt{x^2+1}+\frac{4x^2}{\sqrt{x^2+1}}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-4x^2+4}{{x^2+1}^2}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4x^2}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{4}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-15x^2+540}{{(x^2+36)}^2}=0$ geeft $x=\pm 6$.
Met behulp van een tekenschema van $f\text{'}$ of de grafiek van f vind je: min.$f\left(-6\right)=\mathrm{-1,25}$ en max.$f\left(6\right)=\mathrm{1,25}$.

$f\left(3\right)=1$ en $f\text{'}\left(3\right)=\mathrm{0,2}$, dus de raaklijn heeft de vergelijking $y=\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$ en $A=(0;\mathrm{0,4})$.

De grafiek gaat door $(0,0)$, dus als $a=f\text{'}\left(0\right)=\frac{540}{{36}^2}=\frac{5}{12}$.

Voorwaarde $4x^2-x^3\ge 0$ dus ${\text{D}}_{\left(f\right)}=\langle \leftarrow ,4]$.

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{8x-3x^2}{2\sqrt{4x^2-x^3}}=0$ geeft $x=0\vee x=\frac{8}{3}$.
Je vindt met de grafiek: min.$f\left(0\right)=0$, max.$f\left(\frac{8}{3}\right)\approx \mathrm{3,08}$ en randmin.$f\left(4\right)=0$.

$f\text{'}\left(0\right)$ heeft geen reële uitkomst.

Los op: $\sqrt{4x^2-x^3}=2x$. Je vindt als enige antwoord $x=0$.
Hetzelfde geldt voor $\sqrt{4x^2-x^3}=-2x$.

$K\text{'}\left(x\right)=\frac{-10000b}{x^2}+\frac{3c{x}^2}{125}=0$ geeft $x=\sqrt[4]{\frac{1250000b}{3c}}$.
Omdat $b$ en $c$ positief moeten zijn komt hier ook precies één positief antwoord uit.
Verder is voor positieve $x$ dicht bij $0$ de waarde van $K\text{'}$ negatief en voor hele grote waarden van $x$ de waarde van $K\text{'}$ juist positief. Dus is er inderdaad van een minimum sprake.

$K\text{'}\left(x\right)=\frac{-30000}{x^2}+24x^2=0$ geeft $x\approx \mathrm{5,95}$.
De kosten zijn minimaal bij een drainageafstand van ongeveer $\mathrm{5,95}$ m.

€ 5625,24

$t=\frac{AK}{v_s}+\frac{KB}{v_z}$

$t\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+{50}^2}}{6}+\frac{\sqrt{{(100-x)}^2+{20}^2}}{\mathrm{1,5}}$

$t\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{6\sqrt{x^2+2500}}+\frac{-200+2x}{3\sqrt{10400-200x+x^2}}=0$.
Deze vergelijking is alleen met de grafische rekenmachine op te lossen: $x\approx \mathrm{95,6}$ m.
De bijbehorende minimale tijd is ongeveer $\mathrm{31,6}$ seconden.

Met het voorgaande antwoord bereken je de afstanden $AK$ en $BK$. $AK\approx \mathrm{107,89}$ m en $BK\approx \mathrm{20,48}$ m. De totale afstand is dus ongeveer $\mathrm{128,37}$ m.

De vis doet over de $5$ km $\mathrm{2,5}$ uur, dus $t=\mathrm{2,5}$. Bekend is $v=2$. Invullen in $E=\mathrm{0,15}{v}^{3}t$, geeft $E=3$. Energieverbruik is $3$ J.

De vis legt $v-s$ km af in $1$ uur. Over de tocht van $a$ km doet hij dan: $t=\frac{a}{v-s}$ uur.
Dus $a=t(v-s)$. Het energieverbruik over een tocht van $a$ km is $E=c{v}^{3}t$. Het energieverbruik per km is: $\frac{E}{a}=\frac{c{v}^{3}t}{t(v-s)}=\frac{c{v}^3}{v-s}$.

$\mathrm{4,2875}$ J.

$U\text{'}=\frac{3c{v}^2(v-s)-c{v}^3}{{(v-s)}^2}=0$ als $2c{v}^3-3c{v}^{2}s=0$, dus als $s=\frac{3}{2}v$.

Gemiddeld zijn er $180$ banden in voorraad en $180\cdot 180=32400$.

De gemiddelde voorraadkosten per band zijn $\frac{32400}{4500}=\mathrm{7,20}$ euro.
De gemiddelde leveringskosten per band zijn $\frac{3500}{360}=\mathrm{9,72}$ euro.
De gemiddelde winst per band is $70–30–\mathrm{7,20}–\mathrm{9,72}=\mathrm{23,08}$ euro.

De bruto winst per band is $70–30=40$ euro.
De totale voorraadkosten zijn $\frac{1}{2}x\cdot 180$ euro.
De gemiddelde voorraadkosten per band zijn $\frac{(\frac{1}{2}x\cdot 180)}{4500}$ euro.
De leveringskosten per band zijn $\frac{3500}{x}$ euro.
De "netto" winst per band is dus $40-\frac{3500}{x}+\mathrm{0,02}x$euro.

$W\text{'}\left(x\right)=\frac{3500}{x^2}-\mathrm{0,02}=0$ geeft $x\approx \mathrm{418,3}$.
Met behulp van een grafiek van $W$ of tekenschema van $W\text{'}$ vind je dat W een maximum heeft bij $x=418$ banden per bestelling.

$S_P=50$ geeft $r\approx \mathrm{12,6}$.
En dus is $x\approx \sqrt{{\left(\mathrm{12,6}\right)}^2-{10}^2}\approx \mathrm{7,7}$ m. Dat is $77$ dm.

Vul $r=\sqrt{100+x^2}$ in de formule voor $S$ in en bepaal dan de afgeleide.

Bij $x=5$ daalt de grafiek snel, .
Dus inderdaad is er een punt waar $\frac{\text{d}S}{\text{d}x}$ kleiner is dan $-8$ lux/m.

$\mathrm{880,2}=\frac{111960}{t}-\mathrm{1433,5}$ geeft $t\approx \mathrm{48,39}$.

Voer in de GR in $P=\mathrm{190,2}\sqrt{r}-\mathrm{711,3}$ en $P=\mathrm{10,14}\cdot {(r-7)}^{\mathrm{1,08}}$ en stel een geschikt venster in.
Bij $r\approx \mathrm{23,27}$ en $r\approx \mathrm{67,38}$ zitten de snijpunten van deze grafieken.
Met behulp van de grafieken op de GR vind je .

$P\text{'}\left(r\right)=\frac{a}{2\sqrt{r}}$.
Voor toenemende $r$ neemt $\sqrt{r}$ ook toe en $\frac{1}{2\sqrt{r}}$ dus af. Omdat $a>0$ neemt daarom ook $P\text{'}$ af.
Omdat $P\text{'}\left(r\right)>0$ en bij toenemend $r$ steeds kleiner wordt, neemt de stijging van $P\left(r\right)$ af.