Differentieerregels

Opgave 1

Differentieer de volgende functies.

a

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

b

$f (x) = 4 x \sqrt{x^{2} + 1}$

c

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$

d

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{4 x}$

e

$f (x) = \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Opgave 2

Gegeven is de functie $f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 36}$ .

a

Bereken algebraïsch de extremen van $f$ .

b

De raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt met $x$ -coördinaat $3$ snijdt de $y$ -as in punt $A$ . Stel een vergelijking van die raaklijn op en bereken de coördinaten van $A$ .

c

Voor welke $a$ raakt de lijn $y = a x$ de grafiek van $f$ ?

Opgave 3

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \sqrt{4 x^{2} - x^{3}}$ .

a

Bepaal het domein van $f$ .

b

Bereken algebraïsch de extremen van $f$ .

c

Welk probleem doet zich voor als je de raaklijn aan de grafiek van $f$ voor $x = 0$ wilt opstellen?

Toch kun je twee raaklijnen van de vorm $y = a x$ aan de grafiek tekenen voor $x = 0$ .

d

Laat zien dat de lijnen $y = -2 x$ en $y = 2 x$ precies één punt met de grafiek van $f$ gemeen hebben.

Opgave 4Drainage

Drainage

De drainage (waterafvoer) van natte landerijen door het ingraven van rijen drainagebuizen is een kostbare zaak. De kosten per hectare hangen af van de onderlinge afstand $x$ (in meter) van de evenwijdige rijen buizen. Die onderlinge afstand heet de "drainageafstand". Er geldt de formule:

$K = a + 100 \cdot b \cdot \frac{100}{x} + c \cdot \frac{x^{3}}{125}$

waarin $a$ de vaste kosten per hectare, $b$ de kosten van de aanleg van de buizen per meter en $c$ de kosten van de schade aan het gewas bij een drainafstand van $25$ m zijn. Alle kosten zijn in euro.

a

Toon aan dat deze kosten een minimale waarde kunnen bereiken.

b

Bereken voor $b = 3$ en $c = 1000$ de optimale drainafstand, dat wil zeggen de afstand tussen de rijen buizen waarvoor $K$ minimaal is.

c

Hoe groot is die minimale waarde van $K$ als de vaste kosten € 300, per hectare bedragen?

Opgave 5Zwemmer in nood

Zwemmer in nood

Een zwemmer is in nood voor de kust van Bergen. De tekening geeft een beeld van de situatie. De zwemmer in nood bevindt zich bij punt $B$ in zee. Een lid van de reddingsbrigade ziet de zwemmer in nood en wil in actie komen. Zij bevindt zich in punt A. Ze wil natuurlijk via de snelste weg naar de drenkeling toe. Maar wat is de snelste weg?
Een deel van de weg moet ze rennend afleggen en een deel zwemmend. Ze rent met een gemiddelde snelheid van $6$ m/s en ze zwemt met een gemiddelde snelheid van $1,5$ m/s. Hoe kan ze het snelst hulp bieden? Noem het punt waar ze in het water stapt $K$ .
Punt $K$ kan overal langs de aangegeven $100$ m-lijn liggen. De tijd die ze nodig heeft om in $B$ te komen moet natuurlijk zo klein mogelijk zijn. Noem de totale tijd $t$ , de gemiddelde snelheid over het strand $v_{s}$ en de gemiddelde snelheid in zee $v_{z}$ .

a

Druk $t$ uit in $A K$ , $K B$ , $v_{s}$ en $v_{z}$ .

b

Formuleer een verband tussen $t$ en $x$ .

c

Bepaal met behulp van differentiëren de minimale tijd die ze nodig heeft om de zwemmer te bereiken.

d

Bepaal de kortste weg.

Testen