Logaritmische functies

Logaritmische functies > Logaritmische schaal

123456Logaritmische schaal

Uitleg

Bij bacteriegroei in een petrischaaltje kan het verloop van het geschatte aantal bacteriën $B$ in gram worden gegeven door de formule $B = 600 \cdot 2^{t}$ met $t$ in uren en $t = 0$ om 12:00 uur.
Hier zie je een grafiek van $B$ als functie van $t$ . Op de $B$ -as is een zogenaamde logaritmische schaalverdeling gebruikt.

In plaats van een lineaire verdeling zoals $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , enz., zet je dan de machten van $10$ neer: $10^{0}$ , $10^{1}$ , $10^{2}$ , $10^{3}$ , $10^{4}$ , enz.

Om nu de uitkomsten voor $B$ op de juiste plek te zetten gebruik je een 10-logaritme. Bijvoorbeeld op $t = 12$ heb je $B = 600 \cdot 2^{12} = 2457600$ bacteriën. Dat getal ligt tussen $10^{6}$ en $10^{7}$ . De logaritme van dit getal is: $log (2457600) \approx 6,39$ .
Je zet het daarom op $6,39$ eenheden boven de horizontale as, bij $10^{6,39}$ dus.

Gebruik je op de verticale as een logaritmische schaal en op de horizontale as een gewone lineaire schaal, dan wordt de grafiek van een exponentiële functie telkens een rechte lijn. In Excel kun je gemakkelijk grafieken maken met een logaritmische schaal.

Opgave 2

In de Uitleg werd voor de grafiek van de exponentiele functie $B (t) = 600 \cdot 2^{t}$ op de $B$ -as een speciale schaalverdeling gebruikt.

Zijn op deze schaalverdeling de afstanden tussen twee maatstreepjes steeds even groot?.

Laat zien dat de punten die horen bij $B (5)$ en $B (10)$ goed zijn getekend.

In feite staat op de verticale as de waarde van $B$ op de plek van $log (B)$ .
Neem maar eens een gewoon stuk roosterpapier en maak een assenstelsel met $log (B)$ uitgezet tegen $t$ .

Maak eerst een tabel van $log (B)$ afhankelijk van $t$ .

Zet de bijbehorende punten in je assenstelsel. Als het goed is krijg je een rechte lijn als grafiek.

Met de eigenschappen van logaritmen kun je laten zien, dat $log (B)$ ook echt een lineaire functie van $t$ is. Toon aan dat $B = 600 \cdot 2^{t}$ is te herschrijven tot $log (B) = log (2) \cdot t + log (600)$ .

Opgave 3

Gegeven de functie $f (x) = 2 \cdot 3^{x}$ .

Maak een grafiek van $log (y)$ uitgezet tegen $x$ . Neem $x$ van $0$ tot $15$ .

Vervang de getallen op de verticale as door de bijbehorende $y$ -waarden. Je krijgt dan weer een grafiek van $y$ als functie van $x$ , maar nu met een logaritmische schaal op de verticale as.

Lees uit de laatste grafiek af hoe groot $f (10)$ is en controleer het antwoord met het gegeven functievoorschrift.

Laat zien, dat $log (y)$ een lineaire functie is van $x$ .

verder | terug