Logaritmische functies

Logaritmische functies > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 9Vliegtuiglawaai

Vliegtuiglawaai

Vliegtuigen veroorzaken in de buurt van vliegvelden veel geluidsoverlast. In milieuwetten is vastgelegd welke geluidsbelasting (hoeveel geluid) nog toegestaan is. Door deze wetten worden de groeimogelijkheden van het vliegverkeer beperkt.
In deze opgave nemen we aan dat alle vliegtuigen hetzelfde geluidsniveau hebben. Dit geluidsniveau geven we aan met $L$ . De waarde van $L$ bepaalt hoeveel vliegtuigen jaarlijks maximaal mogen passeren. Dit maximale aantal noemen we $N$ . Voor een gebied in de buurt van vliegveld Zuidwijk gold aan het eind van de vorige eeuw de voorwaarde:

$20 \cdot log (N) = 202 - \frac{4}{3} L$

Door het gebruik van nieuwe technieken neemt het geluidsniveau $L$ van vliegtuigen af.

In een zekere periode nam $L$ af van $75$ dB naar $70$ dB. Toon door berekening aan dat $N$ in die periode meer dan verdubbelde.

Bereken de maximale waarde van $L$ waarbij er een half miljoen ( $500.000$ ) vliegtuigen mogen passeren.

In 2001 werd een nieuwe milieuwet van kracht. Voor het gebied in de buurt van vliegveld Zuidwijk geldt sindsdien:

$20 \cdot log (N) = 248 - 2 L$

De oude en de nieuwe formule leverden in 2001 dezelfde waarde van $N$ op.

Bereken welke waarde $L$ in 2001 had.

Laat zien dat de formule voor de nieuwe situatie is te herleiden tot: $N \approx 2,512 \cdot 10^{12} \cdot {0,794}^{L}$ .

(bron: examen wiskunde A1 vwo 2003, tweede tijdvak, opgave 4, gedeelte en aangepast)

Opgave 10Breedte van wegen

Breedte van wegen

In de jaren vijftig deed de Amerikaan D.L. Gerlough onderzoek naar de voetgangersveiligheid van wegen. Als er veel verkeer over een weg gaat, is er voor voetgangers weinig gelegenheid om veilig over te steken. Daarom stelde Gerlough de zogenaamde "veilige norm" op. Een weg voldoet aan deze veilige norm wanneer er zich gemiddeld elke minuut een gelegenheid voordoet om veilig over te steken. Dat lukt alleen als het aantal auto’s dat per uur passeert onder een maximum blijft. Dit maximum geven we hier aan met $N_{max}$ en is afhankelijk van de breedte van de weg.
Gerlough beperkte zich in zijn onderzoek tot wegen met een breedte tussen $2$ meter en $9$ meter. Hij kwam tot de volgende formule:

$N_{max} = \frac{8289,3}{B} \cdot (1,778 - log (B))$

In deze formule is $B$ de breedte van de weg in meters.
Vanzelfsprekend is deze formule een model van de werkelijkheid. Met behulp van dit model kunnen we enig inzicht krijgen in de veiligheid bij de aanleg van wegen.

Over een weg passeren in de spits $800$ auto’s per uur. Bereken in decimeters nauwkeurig hoe breed deze weg ten hoogste mag zijn zonder dat de veilige norm wordt overschreden.

Bij een brede weg duurt het oversteken langer dan bij een smalle weg. Voor wegen die voldoen aan de veilige norm, betekent dit dat er bij een brede weg per uur minder auto’s mogen passeren dan bij een smalle weg. De grafiek van $N_{max}$ moet dus dalend zijn.
De formule voor $N_{max}$ moet hiermee in overeenstemming zijn.

Leg uit hoe je uitsluitend aan de hand van de formule voor $N_{max}$ – dus zonder gebruik van de grafische rekenmachine – kunt beredeneren dat hier sprake is van een dalende functie.

Een weg die voldoet aan de veilige norm, wordt $0,50$ meter breder gemaakt. Volgens de formule neemt $N_{max}$ daardoor met $126$ af. Onderzoek met behulp van de grafische rekenmachine hoe breed de weg oorspronkelijk was. Geef je antwoord in decimeters nauwkeurig.

(bron: examen wiskunde A1,2 vwo 2005, eerste tijdvak, opgave 2)

Opgave 11Sterilisatie

Sterilisatie

Om voedingswaren tegen bederf te beschermen, worden ze tijdelijk verhit. Men noemt dit steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethoden. In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is $121$ °C. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld, zullen er meer bacteriën overleven. In de figuur zie je een overlevingsgrafiek van de Bacillus stearothermophilus.
Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling. Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op $1$ miljoen. We gaan er steeds vanuit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft.
Bij de grafiek hoort een formule van de vorm:

$N_{t} = 10^{6} \cdot 2^{- r \cdot t}$

Hierin is $N_{t}$ het aantal bacteriën na $t$ minuten en is $r$ de sterftefactor. De sterftefactor is afhankelijk van het type bacteriën.
Met behulp van de grafiek kun je berekenen dat de sterftefactor $r$ van de Bacillus stearothermophilus ongeveer gelijk is aan $2,2$ .

Toon dat met een berekening aan.

De $D$ -waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot $10$ % van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de $D$ -waarde afhankelijk van de soort bacteriën.

Bereken voor de Bacillus stearothermophilus de $D$ -waarde met behulp van bovenstaande formule en leg uit hoe je deze $D$ -waarde kunt controleren met behulp van de figuur.

Men heeft ook van andere bacteriën de $D$ -waarde bepaald. Voor de Clostridium botulinum is deze $D$ -waarde gelijk aan $2,55$ minuten. Met dit gegeven kunnen we de overlevingsgrafiek van de Clostridium botulinum tekenen. Ook voor deze overlevingsgrafiek beginnen we weer met $1$ miljoen bacteriën.

Teken deze overlevingsgrafiek in de gegeven figuur. Licht je werkwijze toe.

(bron: examen wiskunde A1,2 vwo 2006, tweede tijdvak, opgave 2)

verder | terug