Periodieke functies

Periodieke functies > Sinusoïden

1234567Sinusoïden

Voorbeeld 3

Je ziet hier een deel van de grafiek van $f (x) = 300 cos (0,4488 (x + 2)) - 200$ .
Neem $x$ vanaf $0$ tot en met $28$ .
Bereken de periode, rond af op een geheel getal. Bereken het bereik van $f$ .
Los algebraïsch op: $f (x) = 0$ . Geef je antwoord benaderd in twee decimalen.

> antwoord

De $x$ wordt vermenigvuldigd met $0,4488$ .
De periode is daarom $\frac{2 π}{0,4488} \approx 14$ .

De hoogste waarde van $f$ is $-200 + 300 = 100$ .
De laagste waarde van $f$ is $-200 - 300 = -500$ .
Dus: $B_{f} = [-500, 100]$ .

Je lost de vergelijking stap voor stap op.

$300 cos (0,4488 (x + 2)) - 200$	$=$	$0$	beide zijden $+ 200$
$300 cos (0,4488 (x + 2))$	$=$	$200$	beide zijden $/ 300$
$cos (0,4488 (x + 2))$	$=$	$\frac{2}{3}$	terugrekenen met $arccos$
$0,4488 (x + 2)$	$=$	$\pm arccos (\frac{2}{3}) + k \cdot 2 π$	benaderen in drie decimalen
$0,4488 (x + 2)$	$=$	$\pm 0,841 + k \cdot 2 π$	beide zijden $/ 0,4488$
$x + 2$	$=$	$\pm 1,874 + k \cdot 14$	beide zijden $- 2$
$x$	$=$	$-0,126 + k \cdot 14 \lor x = -3,874 + k \cdot 14$

Omdat $x$ loopt vanaf $0$ tot en met $28$ , krijg je vier oplossingen:
$x \approx 10,13 \lor x \approx 13,87 \lor x \approx 24,13 \lor x \approx 27,87$ .

Opgave 6

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = 4 cos (\frac{1}{2} (x + 2)) + 8$ .

Bepaal de periode en de coördinaten van alle toppen. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3.

Los op (benaderingen in drie decimalen nauwkeurig): $f (x) = 11$ . Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3.

Opgave 7

Voor de hoogte van de tip van het rotorblad van een draaiende windmolen geldt de volgende formule:

$h (t) = 40 + 10 \cdot sin (\frac{4}{3} π \cdot t)$

waarin

t

de tijd in seconden en

h

de hoogte in m is.

Bepaal de waarden voor de periode, de amplitude, de evenwichtsstand en de horizontale verschuiving. Bij welke vensterinstellingen krijg je vanaf $t = 0$ precies twee periodes in beeld?

Bereken de tijdstippen waarop de tip precies $45$ m boven de grond zit.

verder | terug