Periodieke functies

Periodieke functies > Totaalbeeld

1234567Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 9Bioritme

Bioritme

Op een pagina op Internet staat te lezen dat ons leven beheerst wordt door een drietal toestanden, namelijk door onze fysieke, onze emotionele en onze intellectuele toestand. Op de ene dag voel je je fysiek (lichamelijk) beter dan op een andere dag. Deze "fysieke toestand" kunnen we weergeven op een schaal van $-50$ (fysiek op dieptepunt) tot $+ 50$ (fysiek opperbest). Deze fysieke toestand varieert in de tijd volgens een sinusoïde.
Ook de "emotionele toestand" en de "intellectuele toestand" variëren op een schaal van $-50$ tot $+ 50$ volgens een sinusoïde. Zie figuur.

Bij de geboorte van een mens zou elke cyclus zich in dezelfde begintoestand bevinden, zoals is weergegeven in de figuur. Tezamen bepalen de drie cycli het zogenaamde bioritme van een mens. Sommigen beweren dat het bioritme volledig vastlegt tot welke prestaties een mens op een bepaald moment in staat is. Zo zou je bijvoorbeeld kunnen uitrekenen op welke dag je het best kunt solliciteren.
Voor de fysieke cyclus is de periode $23$ dagen, voor de emotionele cyclus $28$ dagen en voor de intellectuele cyclus is de periode $33$ dagen.

Het bioritme in de figuur betreft een pasgeboren baby. $E$ is de emotionele toestand van de baby $t$ dagen na de geboorte. Hierbij hoort een formule van de vorm $E = a sin (b t)$ .

Geef de waarden van $a$ en $b$ .

Zodra de emotionele toestand beneden $-25$ komt, zou het moeilijker worden om de emoties onder controle te houden.

Hoeveel procent van een periode heeft de emotionele toestand een waarde die kleiner is dan $-25$ ? Licht je antwoord toe.

$F$ is de fysieke toestand van de baby. Onderzoek of $F$ op de eerste verjaardag een dalend of een stijgend verloop heeft.

Annelies is op 1 januari 1983 geboren. Op 1 januari 2001 wordt ze dus 18 jaar. Vanaf die dag mag ze rijexamen doen. Ze wil dat doen op een dag waarop zowel haar fysieke als haar intellectuele toestand positief is. (De jaren 1984, 1988, 1992, 1996 en 2000 hebben een dag extra, dus $366$ dagen.)

Onderzoek welke de eerste drie dagen van januari 2001 zijn die voor het rijexamen in aanmerking komen.

(bron: examen wiskunde B1,2 havo 2000, eerste tijdvak, opgave 1)

Opgave 10Eb en vloed

Eb en vloed

De staatsuitgeverij publiceert elk jaar de Getijdetafels voor Nederland. Daarin worden voor een aantal kustplaatsen zowel de dagelijkse tijdstippen voor hoogwater en laagwater als de verwachte hoogten (in centimeters) ten opzicht van Normaal Amsterdams Peil (NAP) vermeld. De volgende tabel is ontleend aan zo'n Getijdetafel. Hierin kan bijvoorbeeld worden afgelezen dat hoogwater te Harlingen op $1$ juli 1989 verwacht werd op zowel het tijdstip $7$ uur en $24$ minuten ('s ochtends) als het tijdstip $20$ uur en $4$ minuten ('s avonds).

Door de gegevens over zeer lange tijd te middelen, krijgt men voor Harlingen de gemiddelde getijkromme die is weergegeven in deze figuur.

Uit de tabel kan voor zes gevallen de tijdsduur worden berekend die verstijkt van laagwater tot het eerstvolgende hoogwater.

Onderzoek met een berekening of het gemiddelde van die tijdsduren meer dan twee minuten afwijkt van de in de grafiek vermelde gemiddelde duur van $4$ uur en $55$ minuten.

De vorm van de grafiek laat duidelijk zien dat een model voor de gemiddelde getijdebeweging dat uitgaat van één enkele sinusoïde niet erg realistisch is. Beter is het om het stijgende deel $A B$ en het dalende deel $B C$ elk met een afzonderlijke sinusoïde te beschrijven. Omdat de tijdsduur van $4$ uur en $55$ minuten ongeveer overeen komt met $4,92$ uur, geldt voor de waterhoogte ( $h$ ) voor waarden van $t$ tussen $0$ en $4,92$ bij benadering:

$h = 100,5 \cdot sin (0,64 (t - 2,46)) + 2,5$

Bereken uitgaande van dit model op welk tijdstip het water het snelst stijgt.

Waarom gaat dit model niet op voor het stijgende deel van de grafiek na $t = 12,42$ ?

Voor het dalende deel $B C$ geldt bij benadering $h = 100,5 \cdot sin (a (t - b)) + 2,5$ .

Bereken $a$ en $b$ in twee decimalen nauwkeurig.

In de praktijk gebruikt men in combinatie met de Getijdetafels voor het benaderen van de waterstand soms de twaalfdelenregel. Bij opkomend getij let men op de stijging ( $S$ ) van de waterhoogte gerekend vanaf de laagwaterstand tot de eerstvolgende hoogwaterstand. De periode van opkomend getij wordt verdeeld in zes even grote tijdvakken en men veronderstelt:

in het eerste en het zesde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met $\frac{1}{12}$ deel van $S$ toe;
in het tweede en het vijfde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met $\frac{2}{12}$ deel van $S$ toe;
in het derde en het vierde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met $\frac{3}{12}$ deel van $S$ toe.

Benader met de twaalfdenregel en de gegevens van de tabel de waterhoogte te Harlingen op $3$ juli 1989 omstreeks $8$ uur 's ochtends.

(bron: examen wiskunde A vwo 1992, tweede tijdvak, opgave 3)

verder | terug