De schaalverdeling op de verticale as loopt niet gelijkmatig op: tussen `1` en `10` zit evenveel afstand als tussen `10` en `100` .
Doen, je moet een rechte lijn krijgen.
Nee, op de verticale as zit tussen twee opeenvolgende streepjes steeds een factor `10` . De stappen worden dus steeds groter: van `1` naar `10` is een kleinere afstand dan van `10` naar `100` .
`B(5) = 6*2^5 = 6*32 = 192`
, dus tussen
`100`
en
`1000`
.
De juiste plek vind je door de logaritme te berekenen:
`log(192)~~2,28`
.
Op vergelijkbare manier is
`B(10) = 6*2^(10) = 6144`
en
`log(6144)~~3,79`
.
`t` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `...` | `15` |
`log(B)` | `0,78` | `1,08` | `1,38` | `1,68` | `1,98` | `2,28` | `...` | `5,29` |
Zie figuur in de uitleg.
`log(B) = log(6 * 2^t) = log(6) + log(2^t) = log(6) + t*log(2)`
De grafiek wordt een rechte lijn door
`(0 , log(6))`
en met richtingscoëfficiënt
`log(2)`
.
`x` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `...` | `15` |
`log(y)` | `0,30` | `0,78` | `1,26` | `1,73` | `2,21` | `2,69` | `...` | `7,46` |
De grafiek wordt een rechte lijn.
Op de verticale as krijg je van beneden naar boven de waarden `10^0=1` , `10^1=10` , `10^2=100` , `10^3=1000` enzovoort.
Aflezen:
`f(10 )≈120000`
.
GR:
`f(10 )=118098`
.
`log(y) = log(2 * 3^x) = log(2) + x*log(3)`
Zie de figuur.
`log(20)~~1,30`
. Dus
`20~~10^(1,30)`
. Je plaatst
`20`
dus op
`1,30`
eenheden boven
`10^0`
, dat is tussen
`10^1`
en
`10^2`
.
`log(20000)~~4,30` . Dus `20000~~10^(4,3)` . Je plaatst `20000` dus op `4,3` eenheden boven `10^0` , dat is tussen `10^4` en `10^5` .
`log(0,02)~~text(-)1,69` . Dus `0,02~~10^(text(-)1,69)` . Je plaatst `0,02` dus op `1,69` eenheden onder `10^0` , dat is tussen `10^(text(-)2)` en `10^(text(-)1)` .
Zie de figuur bij a.
`log(1,80)~~0,255`
. Dus
`1,8~~10^(0,225)`
.
Je plaatst
`1,80`
dus op
`0,255`
eenheden boven
`10^0`
, dat is tussen
`10^0`
en
`10^1`
.
Zie de figuur bij a.
`log(8884)~~3,95`
. Dus
`8884~~10^(3,95)`
.
Je plaatst
`8884`
dus op
`3,95`
eenheden boven
`10^0`
, dat is tussen
`10^3`
en
`10^4`
.
Zie de figuur bij a.
`0,003`
mm
`=0,000003`
m en
`0,8`
mm
`=0,0008`
m.
`log(0,000003)~~text(-)5,52`
. Dus
`0,00003~~10^(text(-)5,52)`
.
Je plaatst
`0,000003`
dus op
`5,52`
eenheden onder
`10^0`
, dat is halverwege tussen
`10^(text(-)5)`
en
`10^(text(-)6)`
.
`log(0,0008)~~text(-)3,097`
. Dus
`0,0008~~10^(text(-)3,097)`
.
Je plaatst
`0,0008`
dus op
`3,097`
eenheden onder
`10^0`
, dat is net iets onder
`10^(text(-)3)`
.
`a = 10^(3,5) ≈ 3162`
Je krijgt een dalende rechte lijn door `(0, 12000) ~~ (0, 10^(4,08))` en `~~ (10, 1288) ~~ (10, 10^(3,11))` .
`log(N) = log(12000 *0,8^t) = log(12000) + log(0,8^t) = log(12000 )+t*log(0,8 )`
Rekenregels:
`log(y )= log(b*g^x) = log(b) + x*log(g)`
.
Omdat
`log(b)`
en
`log(g)`
constanten zijn, is dit een lineair verband tussen
`log(y)`
en
`x`
. Op enkellogaritmisch papier zet je
`log(y)`
uit tegen
`x`
, dus wordt dit een rechte lijn.
Omgekeerd: `log(y) = a*x + b` geeft `y = 10^(ax+b) = 10^(ax) * 10^b = 10^b * (10^a)^x = c*g^x` , waarbij `c=10^b` en `g=10^a` constanten zijn.
`A(2) ≈ 120`
`A(10) ≈ 1800`
Ga uit van
`A(t)=b*g^t`
.
`A(2) ≈ 120 = b*g^2`
`A(10) ≈ 1800 = b*g^10`
Hieruit volgt: `g^8 ≈ 1800/120` en `g ≈ (1800/120)^(1/8) ≈ 1,40` en `b = 120/((1,40)^2) ~~ 61` .
`b` en `g` invullen geeft `A(t) = 61*1,40^t` .
Omdat je dan meteen kunt aflezen welke waarde `b` heeft.
`(0, 10^0) = (0, 1)`
Lees de punten
`(text(-)4 , 1000)`
en
`(5 ; 0,01)`
af.
`N(text(-)4 ) = b*g^(text(-)4)=1000`
`N(5) = b*g^5 = 0,01`
Hieruit volgt:
`g^9 = (0,01)/1000 = 0,00001`
, zodat
`g = 0,00001^(1/9) ≈ 0,28`
.
Vervolgens invullen:
`0,01 = b*0,28^5`
, dus
`b=(0,01)/(0,28^5)~~6`
. Dus
`N(t) ≈ 6 *0,28^t`
.
`N(t) = 1`
geeft
`N(t) = 6*0,28^t = 1`
.
`0,28^t ~~ 0,167`
`t ≈ \ ^(0,28)log(0,167) ≈ 1,40`
Het snijpunt wordt ongeveer `(1,40 ; 1)` .
`N(t) ≈ 6 * 0,28^t` is altijd positief, welke waarde je ook voor `t` invult.
De hoeveelheid decibel (het geluidsdrukniveau) geeft de logaritme aan van de effectieve geluidsdruk `p` , dus een lineaire schaal van `L` is een schaal van `log(p)` .
`20 *log(p/(0,00002)) = 35` geeft `p = 0,00002 * 10^(35/20)` .
Afgerond `0,0011` Pa.
55 dB:
`55 = 20 *log(p/(0,00002))`
geeft
`p=0,00002 *10^(55/20) ≈0,0112`
Pa.
95 dB:
`95 = 20 *log(p/(0,00002))`
geeft
`p=0,00002 *10^(95/20) ≈1,1247`
Pa.
Dat is samen `1,1359` Pa en dat is `20 * log((1,1359)/(0,00002)) ≈ 95,1` dB, dus nauwelijks meer dan de drilboor alleen.
110 dB:
`110 = 20 *log(p/(0,00002))`
geeft
`p = 0,00002 * 10^(110/20) ≈6,3246`
Pa.
130 dB:
`130 = 20 *log(p/(0,00002))`
geeft
`p = 0,00002 * 10^(130/20) ≈63,2456`
Pa.
Dus tien keer zo groot.
`A(t)=80000 *1,06^t`
De grafiek wordt een rechte lijn door `(0, 80000)` en `(10, 143268)` , dus ongeveer `(10, 14500)` .
Schatting: `A(15) ~~ 190000` .
Berekening: `A(15) = 8000*1,06^15 ≈ 191725` .
Voor `V(t) = b*g^t` geldt:
`V(0) = b*g^0 = 3`
`V(6) = b*g^6 = 7`
Dit levert:
`b=3`
en
`g^6 = 7/3 = 2 1/3`
, zodat
`g = (2 1/3)^(1/6)≈1,15`
.
Een passende formule is dan
`V(t) ≈ 3 * 1,15^t`
.
Los op: `V(t) = 3*1,15^t = 5` .
`t = \ ^(1,15)log(5/3) ~~ 3,65` .
Los op: `V(t) = 3*1,15^t = 1` .
`t = \ ^(1,15)log(1/3) ~~text(-)7,86`
Het getal `a` ligt ongeveer op `7/10` deel van de afstand tussen `10^2` en `10^3` .
Dus `a ~~ 10^(2,7)~~501` .
Omdat de grafiek van `N(t)` bij benadering een rechte lijn is op enkellogpapier, is `N(t)` bij benadering een exponentiële functie.
De grafiek gaat ongeveer door de punten
`(0, 50)`
en
`(4, 400)`
Ga uit van
`N(t) = N(0)*g^t`
met
`N(0) = 50`
.
`N(4) = 400 = 50*g^4`
geeft
`g^4 = 8`
en
`g = 8^(1/4) ~~ 1,68`
.
De formule wordt `N(t) ≈ 50 * 1,68^t` .
`P=100*0,94^u`
Los de vergelijking `100*0,94^u=10` op.
`u~~37` uur
`log(P) = log(100*0,94^u) = log(100) + log(0,94^u) = log(0,94)*u + log(100) ~~ text(-)0,027u + 2`
De grafiek van `log(P)` heeft dus de vorm van een rechte lijn door `(0, 2)` met r.c. `~~text(-)0,027` .
De lijn gaat door de punten `(log(h), w) =(0, 2)` en `(log(h), w)=(2, 8)` .
De helling is dan `a = (8-2)/(2-0) = 3` .
Invullen van `(2, 8)` levert je de waarde van `b` : `8 = 3*log(100) + b` . Dus `b = 2` .
Het startgetal is dan gelijk aan `2` .
`log(m)≈0,1` en `log(P)≈2,4` .
Het is een rechte lijn, dus is de formule van de vorm
`log(P) = a*log(m) + b`
, door
`(0,1 ; 2,4)`
en
`(2,9 ; 2,0)`
.
Invullen in
`log(P) = a*log(m) + b`
geeft
`2,4 = 0,1a + b`
en
`2,0 = 2,9a + b`
. Dit geeft
`a = (text(-)0,4)/(2,8) ≈ text(-)0,14`
en
`b ≈ 2,41`
, dus
`log(P) ≈ text(-)0,14 *log(m) + 2,41`
.
Ga uit van `log(P)≈text(-)0,14 *log(m)+2,41` en schrijf beide zijden als macht van `10` .
`P ≈ 10^(text(-)0,14*log(m) + 2,41) = (10^ (log(m)))^(text(-)0,14) * 10^(2,41) ≈ 257*m^(text(-)0,14)`
`10^(1,1) ≈ 12,59`
Zie figuur bij d.
Zie figuur bij d.
Bekijk de figuur.
Er is sprake van exponentiële groei.
`N(t) = 40 * 1,495^t` met `t` in weken.