Rijen

Rijen > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 9Hypotheekvormen

Hypotheekvormen

Iemand wil € 100.000 lenen van een bank, om een huis te kopen of een zaak te beginnen. De bank wil $5$ % rente per jaar hebben en de lening moet in $20$ jaar worden terugbetaald. Hoe ga je zo'n schuld aflossen? Twee bekende methoden zijn:

Lineair afbetalingssysteem

Een lineair afbetalingssysteem, waarbij je elk jaar $\frac{1}{20}$ ste deel van de schuld terugbetaald en jaarlijks rente betaalt over de nog uitstaande restschuld.
Stel je leent op 1-1-2010 ( $t = 0$ in in jaren) en je betaalt voor het eerst op 31-12-2010.

Je betaalt dus op $t = 1$ : $5000 + 0,05 \cdot 100000$ euro.
Je betaalt op $t = 2$ : $5000 + 0,05 \cdot 95000$ euro.

Enzovoorts...
In jaar $t$ betaal je: $B (t) = 5000 + 0.05 \cdot (100000 - 5000 (t - 1))$ euro. $B (t)$ is een rekenkundige rij, dus je berekent je totale kosten voor deze lening met de somformule voor zo'n rij.

Annuïteiten afbetalingssysteem

Een afbetalingssysteem met annuïteiten, waarbij je elk jaar evenveel betaalt, rente en aflossing samen (in het begin veel rente en weinig aflossing, later andersom). Natuurlijk betaal je ook nu rente over je restschuld.
Noem de annuïteit A, je leent op 1-1-2010 en betaalt op 31-12 van elk jaar.

Je restschuld op $t = 1$ is: $100000 \cdot 1,05 - A$ euro.
Je restschuld op $t = 2$ : $100000 \cdot {1,05}^{2} - A \cdot 1,05 - A$ euro.

Na $t$ jaar is je restschuld: $S (t) = 100000 \cdot {1.05}^{t} - A \cdot {1.05}^{t - 1} - A \cdot {1.05}^{t - 2} - ... - A$ . Je hebt alles afbetaalt als dit samen $0$ is. Hieruit bereken je de annuïteit en je totale kosten.

Bij een lineair afbetalingssysteem betaal je elk jaar evenveel aflossing en rente over de restschuld. Maak hierbij een tabel van jaarlijks te betalen bedragen en bereken het totaalbedrag dat je hiervoor kwijt bent als de situtatie zich verder niet wijzigt.

Bij een afbetalingssysteem gebaseerd op annuïteiten betaal je elk jaar een vast bedrag. Bereken de grootte van dit bedrag en het totaalbedrag dat je hiervoor kwijt bent als de situtatie zich verder niet wijzigt.

Opgave 10Varkenscyclus

Varkenscyclus

In de economie is de varkenscyclus een bekend dynamisch vraag-en-aanbodmodel. Op de varkensmarkt kunnen de aanbieders van varkens namelijk niet onmiddellijk reageren op een prijsverandering omdat het vetmesten van varkens tijd kost.
De volgende modelaannames worden gehanteerd:

Bij een lage prijs van varkensvlees wordt het aantal aanbieders kleiner, bij een hoge prijs juist groter.
Bij een laag aanbod van varkensvlees wordt de prijs hoger, bij een hoog aanbod wordt de prijs juist lager.
Het vetmesten van een varken duurt ongeveer $0,5$ jaar.

Nu kan de vrager onmiddellijk reageren op elke prijsverandering, maar de aanbieder niet want meer vlees aanbieden betekent meer varkens vetmesten en dat kost tijd.
Noem de prijs $p$ , de aangeboden hoeveelheid $q_{A}$ en de gevraagde hoeveelheid $q_{V}$ .
Een mogelijk stelsel modelformules is dan: $q_{A} (t) = p (t - 1) - 15$ en $q_{V} (t) = 400 - 1.5 p (t)$ .
Hierin is $t$ de tijd in stappen van $0,5$ jaar.
In het Excel bestand Model varkenscyclus zie je wat de computer er van maakt. Je ziet dat de rij getallen $p (t)$ naar een evenwichtsprijs nadert.

Leg uit dat de gegeven modelformules in overeenstemming zijn met de aannamen.

Waar vind je de periode van $0,5$ jaar (nodig voor het vetmesten van een varken) terug?

Welke evenwichtsprijs levert het model op?

Stel een differentievergelijking op voor de rij $p (t)$ er van uitgaande dat vraag en aanbod elkaar in evenwicht houden.

Opgave 11Prooidier-roofdier modellen

Prooidier-roofdier modellen

In veel natuurgebieden is er sprake van een wisselwerking tussen de roofdieren en hun prooi, zoals vossen en konijnen. Modellen die zo’n wisselwerking bestuderen heten prooi-roofdiermodellen. De Italiaanse wiskunde Vito Volterra en de Amerikaanse wiskundige Alfred J. Lotka ontwierpen in 1925/1926 een dynamisch model voor dergelijke wisselwerkingen. Als $P (t)$ het aantal prooidieren en $R (t)$ het aantal roofdieren op tijdstip $t$ is, zien hun vergelijkingen er in discrete vorm zo uit:

$P (t) = P (t - 1) \cdot (a - b \cdot R (t - 1))$
$R (t) = - R (t - 1) \cdot (c - d \cdot P (t - 1))$

Hierin zijn $a$ , $b$ , $c$ en $d$ positieve getallen. Bekijk maar eens met behulp van een rekenblad in Excel of je grafische rekenmachine hoe dit model zich gedraagt.

De eerste vergelijking laat zien dat de prooidieren bij afwezigheid van de roofdieren ( $b = 0$ ) exponentieel toenemen. De uitdrukking $a - b \cdot R (t - 1)$ laat echter zien, dat de groeifactor vermindert afhankelijk van het aantal roofdieren $R$ dat een periode eerder op ze heeft kunnen jagen.
De vergelijking voor de roofdieren kent een vergelijkbare interpretatie.

Kies waarden voor $a$ , $b$ , $c$ en $d$ en reken een prooi-roofdiermodel door. Onderzoek wat er of er een evenwichtssituatie ontstaat waarin de aantal stabiliseren. Het beste kun je een rekenblad in Excel maken waarin deze vier parameters instelbaar zijn zodat je wat realistische resultaten krijgt...
Tegenwoordig bestaan er diverse aangepaste prooi-roofdiermodellen en animaties ervan op internet. Bekijk bijvoorbeeld dit artikel uit de Scholarpedia.

verder | terug