Sneller. Hij legt de eerste `8` km in `10` minuten af, dat is `0,8` km per minuut. De volgende `4` km doet hij in `8` minuten, dat is maar `0,5` km per minuut.
Omdat de tijden niet steeds na dezelfde vaste afstanden zijn gemeten.
Je neemt daarvoor de richtingscoëfficiënt van dat lijnstuk.
`(Δy)/(Δx) = (18-12)/(34-18) = 6/16 = 0,375` km/min.
Dit is de gemiddelde snelheid van de wielrenner.
`Δt = 6 - 0 = 6`
`Δs = 1,2*6^2 - 1,2*0^2 = 43,2`
`(Delta s)/(Delta t) = (43,2)/6 = 7,2` m/s.
`(Δs)/(Δt) = (1,2*10^2 - 1,2*6^2)/(10 - 6) = 19,2` m/s.
Op `[6, 10]` .
`(Δy)/(Δx) = (f(5) - f(1))/(5 - 1) ~~ (2,3 - 0,9)/4 = 0,35`
`(Δy)/(Δx) = (f(4) - f(2))/(4 - 2) ~~ (1,4 - 2,2)/2 = text(-)0,4`
`(Δy)/(Δx) = (f(6) - f(1))/(6 - 1) ~~ (4,3 - 0,9)/5 = 0,68`
Bijvoorbeeld op het interval `[5, 6]` .
`(Delta y)/(Delta x) = (3-0)/(1-text(-)2) = 1` .
`(Delta y)/(Delta x) = (3-3)/(1-text(-)1) = 0` .
`(f(5)-f(2))/(5-2) = (5^2-5*5+4-(2^2-5*2+4))/3 = 6/3 = 2`
`(f(6)-f(text(-)3))/(6-text(-)3) = (6^2-5*6+4-((text(-)3)^2-5*text(-)3+4))/9 = (text(-)18)/9 = text(-)2`
De twee punten op de grafiek zouden dan dezelfde `y` -coördinaat moeten hebben. Je kunt twee punten vinden door op de GR een horizontale lijn te tekenen door de grafiek, en dan de snijpunten berekenen. Neem bijvoorbeeld als horizontale lijn `y = 4` . Je vindt dan `x = 0` en `x = 5` . Op het interval `[0, 5]` is de gemiddelde verandering dus `0` .
In het tijdsinterval van 12:00 tot 13:30 uur.
De gemiddelde verkoop is `(331 - 181)/80 = 1,875` kaartjes per minuut.
`15/100 = 0,15` , dus de gemiddelde hoogteverandering per meter is `0,15` m.
`(250-100)/(1000-0) = 0,15` . Dus `0,15` meter per meter.
Nee, eigenlijk verwacht je dat de steilste helling wordt aangegeven.
`(220 - 210)/(500 - 400) = 0,1` m
De laatste
`100`
meter is de gemiddelde helling ongeveer
`65/100`
.
Aan het eind is de helling dus ongeveer
`65`
%.
Het differentiequotiënt van `f` op het interval `[0, a]` is `2a` . Neem `a` is `3` en je ziet dat het differentiequotiënt op het interval `[0, 3]` gelijk is aan `6` .
`(f(4)-f(1))/(4-1) = (2*4^2+5-(2*1^2+5))/3 = 30/3 = 10`
Neem `a = 5` . Met de formule uit het voorbeeld zie je dat het differentiequotiënt op het interval `[0, 5]` gelijk is aan `2*5 = 10` .
De gemiddelde verandering op een willekeurig interval
`[a, b]`
is:
`(f(b)-f(a))/(b-a) = (c-c)/(b-a) = 0/(b-a) = 0`
.
Het differentiequotiënt op een interval is de gemiddelde verandering op dat interval. Aangezien de grafiek van een lineaire functie `f(x) = ax + b` een rechte lijn is, is het differentiequotiënt van `f` op elk interval gelijk aan het hellingsgetal `a` .
`(Δy)/(Δx) = (2-0)/(text(-)1-text(-)2) = 2/1 = 2`
`(Δy)/(Δx) = (1-3)/(4-1) = (text(-)2)/3`
Een differentiequotiënt van `0` betekent dat de helling in dat gebied gemiddeld `0` was. Het zijn dus lijnstukken met twee punten op dezelfde hoogte, dus `DF` en `AE` .
Het differentiequotient is negatief.
`(Δy)/(Δx) = text(-)2`
`(Δy)/(Δx) = 0`
Differentiequotiënt van `0` , want de punten bevinden zich op dezelfde hoogte.
Op het tijdsinterval `[12, 27]` .
Cedric loopt de eerste `1,5` kilometer in `6` minuten. Stel dat hij de hele wedstrijd met hetzelfde tempo loopt. Finisht hij dan voor of na Bram?
`(Δ y) / (Δ x) = (3(a + 1)^2 - 3a^2)/1 = 6 a + 3`
`(f(2)-f(0))/(2-0) = (text(-)1 1/3 - 0)/2 = text(-)2/3`
Voer in: Y1=1/3X^3-2.5X^2+3X en Y2=-2/3X.
Venster bijvoorbeeld:
`text(-)10 le x le 10`
en
`text(-)10 le y le 10`
.
Je ziet dat de lijn `y = text(-)2/3 x` de grafiek van `f` drie keer snijdt, namelijk bij `x = 0` , `x = 2` en `x = 5,5` . Op de intervallen `[0, 2], [2; 5,5]` en `[0; 5,5]` is het differentiequotiënt van `f` gelijk aan die bij a.
De kosten stijgen met `K(20)-K(0) = 100` euro.
`(K(20)-K(0))/(20-0) = 100/20 = 5` euro per zak.
`(40, 200)`
Ja, op alle punten waar `K` de lijn snijdt is de gemiddelde kostenstijging hetzelfde. Dus voor `[20, 40]` is deze ook € 5,00 per zak.
Koffie wordt ingeschonken bij `t=0` , dus: `T(0) = 20 + 70*0,82^0 = 20+70*1 = 90` °C.
Stijging per minuut is
`(ΔT)/(Δt) = (T(5) - T(0))/(5 - 0) ≈ (45,95 - 90)/5 ≈ text(-)8,8`
°C/min.
Dus daling van
`8,8`
°C/min.
Stijging per minuut is `(ΔT)/(Δt) = (T(0) - T(5))/(10 - 5) ≈ (29,62 - 45,95)/5 ≈ text(-)3,3` °C/min.
Er is over deze `5` minuten een gemiddelde daling van `3,3` °C/min.
De differentiequotiënten worden steeds kleiner, dus daalt de temperatuur van de koffie steeds minder snel.
Natuurkundig gezien wordt het temperatuurverschil met de omgeving steeds kleiner, dus koelt de koffie steeds minder snel af.
`0,8` km/min.
Welke betekenis heeft dit getal voor de wielrenner?
`3/8` km/min.
`~~0,42` km/min.
Welke betekenis hebben de bij c en d gevonden getallen voor de grafiek? Geef alle goede antwoorden.
Ze geven de helling weer van het lijnstuk door bij het begin- en het eindpunt bij het tijdsinterval.
Ze geven de totale toename van de afstand weer op het tijdsinterval.
Ze geven de gemiddelde toename van de afstand per minuut weer op het tijdsinterval.
`text(-)4`
`text(-)3`
Bijvoorbeeld `[4, 6]` of `[3, 7]` .