Kansen

Kansen > Permutaties en combinaties

123456Permutaties en combinaties

Voorbeeld 3

Uit een groepje van $5$ meisjes en $4$ jongens kies je door loting een drietal.
Hoe groot is de kans dat daar minstens $2$ meisjes bij zijn?

> antwoord

Dit rooster laat het totaal aantal combinaties van $3$ uit $9$ zien.
Dat zijn er $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!} = 84$ .

(Je kunt dit ook uittellen met de driehoek van Pascal.)

Als er precies $2$ meisjes bij moeten zijn, dan kun je bijvoorbeeld eerst $2$ van de $5$ meisjes kiezen en vervolgens $1$ van de $4$ jongens.
Het aantal (kortste) routes gaat dan via $A$ .
Van $O$ naar $A$ zijn er $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = 10$ mogelijke routes en bij elk van deze routes zijn er van $A$ naar $P$ nog eens $(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 4$ mogelijke routes.
Dat zijn in $10 \cdot 4 = 40$ mogelijke routes.

Als er precies $3$ meisjes bij moeten zijn, dan kun je bijvoorbeeld eerst $3$ van de $5$ meisjes kiezen en vervolgens geen van de $4$ jongens.
Het aantal (kortste) routes gaat dan via $B$ .
Van $O$ naar $B$ zijn er $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = 10$ mogelijke routes en bij elk van deze routes is er van $B$ naar $P$ nog maar $1$ mogelijke route.
Dat zijn $10 \cdot 1 = 10$ mogelijke routes.

In totaal zijn er $40 + 10 = 50$ routes met $2$ of $3$ gekozen meisjes van de $84$ mogelijke routes.
De gevraagde kans is dus $\frac{50}{84}$ .

Opgave 6

Bekijk Voorbeeld 3. Daarin wordt met een rooster gewerkt.

Reken zelf de in het voorbeeld gevraagde kans nog eens na.

Op hoeveel manieren kun je door loting uit een groep van $20$ met $8$ mannen en $12$ vrouwen een groep van vijf samenstellen die bestaat uit $3$ mannen en $2$ vrouwen?

Op hoeveel manieren kun je door loting uit een groep van $20$ met $8$ mannen en $12$ vrouwen een groep van vijf samenstellen die bestaat uit hoogstens $3$ mannen?

Opgave 7

Ga uit van een systeem met $7$ schakelaars die allemaal "aan" of "uit" kunnen staan.

Geef in een roosterdiagram alle mogelijkheden weer.

Zet bij elk punt van het rooster hoeveel kortste routes er naar toe leiden. Gebruik de driehoek van Pascal.

Op hoeveel manieren kun je $0$ van de $7$ schakelaars aanzetten?

Op hoeveel manieren kun je $1$ van de $7$ schakelaars aanzetten?

Op hoeveel manieren kun je $2$ van de $7$ schakelaars aanzetten?

Het aantal manieren om $3$ van de $7$ schakelaars aan te zetten is gelijk aan het aantal manieren om er $4$ van de $7$ aan te zetten. Leg uit waarom dat zo is.

Opgave 8

Stel je voor dat er $30$ schakelaars zijn (die $30$ toneellampen bedienen), waarmee je de belichting op een podium kunt regelen. Voor een bepaalde scène moeten er vier van de $30$ worden aangezet. Neem eerst aan dat de volgorde waarin ze worden aangezet wel van belang is.

Op hoeveel manieren kun je de eerste schakelaar kiezen?

Op hoeveel manieren kun je vier schakelaars kiezen?

Stel je nu voor dat het niet van belang is in welke volgorde de schakelaars worden aangezet, alleen maar welke vier er aan staan.

Je moet voor een bepaalde scène de schakelaars S5, S7, S8 en S9 gebruiken. Op hoeveel verschillende manieren kun je die schakelaars nog aan zetten?

Hoe kun je met behulp van de antwoorden op de vragen bij b en c berekenen op hoeveel manieren je vier schakelaars uit de $30$ kunt kiezen als de volgorde niet belangrijk is?

Op hoeveel manieren kun je $6$ schakelaars kiezen uit de $30$ als de volgorde niet belangrijk is?

Opgave 9

Gebruik de driehoek van Pascal in dit roosterdiagram.

Hoeveel kortste routes zijn er van $P$ naar $M$ ?

Hoeveel kortste routes zijn er van $M$ naar $S$ ?

Hoeveel kortste routes zijn er van $P$ naar $S$ via $M$ ?

verder | terug