Bij de Olympische Spelen is de 100 m hardlopen een vast onderdeel. In de finale starten $8$ lopers A, B, C, D, E, F, G en H. Ze strijden om goud, zilver of brons. Stel je voor dat alle lopers gelijkwaardig zijn en een even grote kans maken op de medailles.
Hoeveel mogelijke lijstjes met drie medaillewinnaars kun je dan maken?

Het gaat hier om het aantal permutaties van $3$ uit $8$: $8\cdot 7\cdot 6=\frac{8!}{5!}=336$ mogelijkheden.

In de voorrondes is het niet belangrijk of je nummer 1, nummer 2 of nummer 3 bent: de eerste drie gaan door naar de volgende ronde. De lijstjes BDG, BGD, DBG, GBD, DGB en GDB hebben dan allemaal hetzelfde resultaat. Die tellen dan dus niet als afzonderlijke mogelijkheden, maar vormen samen één mogelijkheid.
En dat geldt ook voor alle andere drietallen: de volgorde binnen die drietallen is niet belangrijk en die $3!$ volgordes tellen telkens maar als één mogelijkheid mee. Dit betekent dat er geen $336$ mogelijke lijstjes zijn, maar slechts $336$ gedeeld door $3!$.

Je spreekt dan van het aantal combinaties van $3$ uit $8$. Je schrijft het als $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$.
Je rekent het aantal combinaties van $3$ uit $8$ zo uit: $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56$ mogelijkheden. Met faculteiten: $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)=\frac{8!}{3!\cdot 5!}$.

Bij het aantal combinaties van $3$ uit $8$ gaat het er eigenlijk om de groep van $8$ te verdelen in twee subgroepen, één van $3$ en één van $5$. Binnen beide subgroepen speelt volgorde geen rol.
Dat kun je heel mooi weergeven in een rooster van $3$ bij $5$. Elk element van de groep van $8$ hoort dan wel of niet bij het uitverkoren drietal.

Je ziet hier de mogelijkheid waarin B, E en G wel en de overige niet bij de uitverkoren drie horen.
Alle mogelijke kortste routes van linksonder naar rechtsboven geven het aantal combinaties van $3$ uit $8$ weer. Het zijn er inderdaad $56$, wat je op een handige manier kunt tellen.

Het aantal routes dat in een punt bij elkaar komt is telkens de som van het aantal routes dat in het punt eronder en dat er links naast bij elkaar komt.
Het is de som van de routes van de twee voorgangers.
Je kunt dat in de figuur gemakkelijk natellen als je bedenkt dat je (kortste routes) alleen naar rechts en omhoog kunt bewegen over de roosterlijnen.
Dit telpatroon staat bekend als de driehoek van Pascal.