Het buigpunt is `(40/6, 13700/27)` .

`f'(40/6) = 16 2/3`
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is niet `0` .

`f'(x) = 3x^2 - 6x` en `f''(x) = 6x - 6 = 0` als `x = 1` .
Omdat `f''` voor `x = 1` van teken wisselt, is er een buigpunt `(1, f(1)) = (1, 4)` .

`f'(x) = 5x^4 - 300x^2 = 5x^2(x^2 - 60) = 0` geeft `x = 0 vv x = +-sqrt(60)` .

Maximum `f(text(-)sqrt(60)) = 2400 sqrt(60)` en minimum `f(sqrt(60)) = text(-) 2400 sqrt(60)` .

`f''(x) = 20x^3 - 600x = 20x(x^2 - 30) = 0` geeft `x = 0 vv x = +-sqrt(30)` .

De buigpunten zijn `(text(-) sqrt(30), 2100 sqrt(30))` , `(0, 0)` en `(sqrt(30), text(-)2100 sqrt(30))` .

Uit het tekenschema van `f(x)` blijkt dat alleen het buigpunt bij `x = 1` een positieve `y` -waarde heeft en dus boven de `x` -as ligt.

`f'(x) = 2x^3 - 6x` en `f''(x) = 6x^2 - 6 = 0` als `x = text(-)1 vv x = 1` .
Omdat `f` bij beide waarden van `x` van teken wisselt, zijn er twee buigpunten.
Dit kun je ook in de grafiek zien. De coördinaten van de buigpunten zijn: `(text(-)1; 7,50)` en `(1; 7,5)` .

Op `⟨0, 1⟩` is `f'(x) lt 0` en `f''(x) lt 0` dus de daling wordt steeds sterker.

`MK(0) = 4 gt 0`

`MK' = 0,3q - 2 = 0` geeft `q = 3 1/3` .

De economische betekenis hiervan is, dat voor deze waarde van `q` de snelheid waarmee de kosten toenemen het laagst is. Hierna stijgen de kosten steeds sneller.

Omdat de hellingswaarden `TK'= MK` van `TK` positief zijn, stijgt `TK` .
Omdat de hellingswaarden `MK'` van `MK` negatief zijn, daalt `MK` , dus de stijging van `TK` neemt af.

De GR laat zien dat ongeveer bij `a=8` het buigpunt zit.

`TO' = text(-)a^2 + 16a` en `TO'' = text(-)2a + 16` . 

`TO''(a) = text(-)2a + 16 = 0` als `a = 8` .

Tussen `a = 7` en `a = 8` zit de grootste opbrengststijging.
Die bedraagt `TO(8) - TO(7) ≈ 341,33 - 277,67 = 63,66` euro per uur.

`f'(x) = 1,5x^2 + 12x` en `f''(x) = 3x + 12 = 0` geeft `x = text(-)4` .
Het buigpunt is `(text(-)4, text(-)26)` .

`f'(x) = 8x - 2x^3` en `f''(x) = 8 - 6x^2 = 0` geeft `x = text(-)sqrt(4/3) ∨ x = sqrt(4/3)` .
De buigpunten zijn `(text(-)sqrt(4/3), 40/9)` en `(sqrt(4/3), 40/9)` .

Bijvoorbeeld: `text(-)15 le x le 15` en `text(-)1500 le y le 1500` .

`x^2 = 0,25x^2(x^2 - 144)` geeft `x^2 = 0 vv 0,25(x^2 - 144) = 1` en `x = 0 vv x = +-sqrt(148)` .
Grafiek: `text(-) sqrt(148) < x < 0 ∨0 < x < sqrt(148)` .

`g'(x) = x^3 - 72x` en `g''(x) = 3x^2 - 72 = 0` geeft `x = text(-)sqrt(24) vv x = sqrt(24)` .
De buigpunten zijn `(text(-)sqrt(24), text(-)720)` en `(sqrt(24), text(-)720)` .

`TK' = 1,5q^2 - 8q + 11` en `TK'' = 3q - 8 = 0` geeft `q = 8/3` .
De productie is dan ongeveer `267` kg.

`TW = q(11 - q) - (0,5q^3 - 4q^2 + 11q + 4) = text(-)0,5q^3 + 3q^2 - 4` en `TW' = text(-)1,5q^2 + 6q` .
`TW' = 0` als `q = 0 vv q = 4` .
Er is maximale winst bij een verkoop van `400` kg.

De afgeleide is `0` bij extremen. In dit geval op `x = text(-)2` en `x = 4` . Bij `x = text(-)2` en `x = 4` vindt er een tekenwisseling plaats.

De afgeleide heeft een minimum op `x=1` , dus daar is de tweede afgeleide gelijk aan `0` . Hier ligt een buigpunt van de oorspronkelijke functie.

De richtingscoëfficiënt is negatief, want `f'(1) < 0` .

Als `0 ≤ q lt 5` is `(text(d)K)/(text(d)q) = text(-)0,2q + 1,2 gt 0` .
Als `q ≥ 5` is `(text(d)K)/(text(d)q) = 0,3q^2 - 2,2q + 3,7 gt 0` (dalparabool met nulpunten bij `q ≈ 2,6` en `q ≈ 4,7` ).

Als `0 ≤ q lt 5` is `K'(q) = text(-)0,2q + 1,2` . De laagste waarde is `K'(5) = 0,2` .
Als `q ≥ 5` is `K'(q) = 0,3q^2 - 2,2q + 3,7` . De laagste waarde is `K'(5) = 0,2` .

In de grafiek lijkt dit het punt met de laagste hellingswaarde en dat hoort bij een minimum van de afgeleide. Beide hellingswaarden zijn ook nog gelijk, dus dit is inderdaad een buigpunt van de grafiek.

Bij een productie van `7000` stuks bedragen de gemiddelde kosten `(K(7))/7 = 0,9` euro.
De lijn door `O` met dit hellingsgetal snijdt de grafiek bij `q = 3` .
Bij een productie van `3000` stuks bedragen de gemiddelde kosten inderdaad ook `(K(3))/3 = 0,9` euro.

`(0, 0)` en `(3, text(-)45)` .

De buigpunten zijn `(9,73; text(-)1986,41)` en `(0,27; 0,19)` .

`x = 4`

Je schets moet lijken op deze grafiek.

`y = 8x - 22`

De marginale kosten zijn ongeveer € 1,50 per liter.

`MK(3) = 1,5` euro per liter.

De productie is `2000` L/dag.