Differentieerregels > OptimaliserenVoorbeeld 2
ChemoTech brengt een nieuw onkruidbestrijdingsmiddel CHIF op de markt. De productiekosten zijn bekend, er is een kostenmodel voorhanden:
`TK = 0,25q^3 - 3q^2 + 18q + 30`
Hierin stelt `q` het aantal geproduceerde kilogram (in duizendtallen) CHIF voor en `TK` de totale kosten in duizenden euro.
Voor de opbrengst gelden de volgende aannames.
-
Bij een prijs van € 18,00 per kilogram zal de verkoop `4500` kilogram zijn.
-
Bij een prijs van € 9,00 per kilogram zal de verkoop `31500` kilogram zijn.
De verkochte hoeveelheid `q` hangt lineair af van de prijs `p` .
Welke winst kan ChemoTech met dit product maximaal maken?
Stel een rekenmodel op.
-
Doe aannames.
ChemoTech produceert alleen bestrijdingsmiddel als het ook wordt verkocht. -
Bepaal welke variabele(n) van belang zijn.
De winst. Noem die `TW` .
De prijs `p` in euro/kg, de verkochte hoeveelheid `q` per `1000` kg, de totale opbrengst `TO` per `1000` euro, de totale kosten `TK` per `1000` euro. -
Stel formules op.
Er geldt: `TW = TO - TK` , `TO=p*q` en `TK = 0,25q^3 - 3q^2 + 18q + 30` .
De verkoop `q` hangt lineair af van de prijs `p` : `q = a*p + b` .
De grafiek hiervan gaat door `(9; 31,5)` en `(18; 4,5)` .
Daaruit volgt: `q = text(-)3p + 58,5` . -
Zorg dat er één formule met twee variabelen overblijft.
`TW = TO - TK` geeft: `TW = p*q - (0,25q^3 - 3q^2 + 18q + 30)` .
Nu zijn er nog drie variabelen. `p` komt het minst vaak voor, werk die weg.
Als `q = text(-)3p + 58,5` , dan geldt `p = 19,5 - 0,33q` .Vul dit in in de formule voor `TW` en dit geeft: `TW = text(-)0,25q^3 + 2,67q^2 + 1,5q - 30` .
De maximale winst is € 25821,59. Dit is te vinden met behulp van differentiëren, met de grafische rekenmachine of met dit kostenmodel in Excel.
Gebruik de gegevens uit
Begin met de formule `TW = TO - TK` en leid de formule voor de totale winst `TW = text(-)0,25q^3 + 2,67q^2 + 1,5q - 30` af.
Bereken met behulp van differentiëren voor welke `q` de waarde van `TW` maximaal is.