Exponentiële en logaritmische functies > Logaritmische functiesAntwoorden van de opgaven
Voer bij Y1 de functie `f` in en via Y2=(Y1(X+0.0001)-Y1(X))/0.0001 een benadering van de afgeleide. Kies als venster bijvoorbeeld `[0, 5] xx [text(-)3, 3]` .
Omdat de grafiek van de functie steeds steiler wordt naarmate je dichter bij `0` komt.
`y = 0`
`f(x) = 1/x`
`f'(x) = 1/(5x) * 5 = 1/x` en `f'(10) = 0,1` .
`f'(x) = 3/(4 - x) * text(-)1 = (text(-)3)/(4 - x)` en `f'(10) = 0,5` .
`f(x) = text(-) ln(x)` dus `f'(x) = text(-) 1/x` en `f'(10) = text(-)0,1` .
`f(x) = \ ^2log(x) = (ln(x))/(ln(2)) = 1/(ln(2))*ln(x)` dus `f'(x) = 1/(ln(2)) * 1/x = 1/(x ln(2))` .
Gebruik alle tot nu toe geleerde differentieerregels. Controleer pas je antwoord als je ze allemaal hebt gemaakt. Heb je fouten gemaakt? Bekijk dan goed wat je fout deed!
`f'(x) = 1/(4x) * 4 = 1/x` geeft `f'(1) = 1` .
`f'(x) = 1/(ln(3)*x)` geeft `f'(1) = 1/(ln(3))` .
`f'(x) = 5 * 1/(ln(10)*x) = 5/(x ln(10))` geeft `f'(1) = 5/(ln(10))` .
`f'(x) = 50 * 1/(2x) * 2 = 50/x` geeft `f'(1) = 50` .
`f'(x) = 1/(ln(2)*(50 + x^2)) * 2x = (2x)/((50 + x^2)ln(2))` geeft `f'(1) = (2)/(51 ln(2))` .
`f(x) = ln(3) - ln(x)` geeft `f'(x) = 0 - 1/x = text(-)1/x` en dus `f'(1) = text(-)1` .
Of: `f'(x) = 1/(3/x) * text(-)3/(x^2) = text(-)1/x` en dus `f'(1) = text(-)1` .
`h = text(-)6,5 log(p/1020)` geeft `h'(p) = (text(-)6,5)/(p ln(10))` .
`h(900) ≈ 0,353` en `h'(900) ≈ text(-)0,003` .
`h'(p) = (text(-)6,5)/ (p ln(10)) < 0` omdat `p > 0` .
`f'(x) = 1/(0,5x)*0,5 = 1/x` geeft `f'(2) = 0,5` .
`f'(x) = 4*1/(ln(2))*1/x ~~ (5,77)/x` geeft `f'(2) ~~ 2,89` .
`f'(x) = 200*1/(x/4) = 800/x` geeft `f'(2) = 400` .
Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
De grafiek heeft een verticale asymptoot
`y = 0`
.
`f'(x) = text(-)1/x`
.
`f(2) = 4 - ln(4) ~~ 2,61`
en
`f'(2) = text(-)0,5`
dus de vergelijking van de raaklijn is
`y = text(-)0,5x + 3,61`
.
`f'(x) = (-)1` geeft `text(-)1/x = text(-)1` zodat `x = 1` .
`\ ^2log(6 - x) = \ ^2log(1/x)`
geeft
`6 - x = 1/x`
en
`x ~~ 5,83 vv x ~~ 0,17`
.
De snijpunten zijn ongeveer
`(5,83; text(-)2,54)`
en
`(0,17; 2,54)`
.
De punten
`A`
en
`B`
liggen beide op de verticale lijn
`x = k`
. Dus moet
`h(k) = f(k) - g(k)`
maximaal zijn.
`h'(k) = 1/(6 - k) + 1/k = 0`
geeft
`k = 3`
. En
`h(3) = 2 *\ ^2log(3)`
.
`f'(x) = (2x-4)/(x^2-4x)`
`f'(x) = (2x-4)/((x^2-4x)ln(3))`
`I = 10^(text(-)12)`
geeft
`L = 0`
.
`I = 10`
geeft
`L = 130`
.
`L = 80` geeft `I = 10^(text(-)4)` . Voor twee auto's is `I = 2 * 10^(text(-)4)` en dus `L = 83,01` dB.
`77 = L_0 - 10 * log(40pi)` geeft `L_0 = 77 - 10 * log(40pi)` . Op 100 meter vind je: `L = 77 - 10log(40pi) - 10log(200pi) = 70` dB.
`L = 77 - 10log(40pi) - 10log(2pi R) = 60` geeft `17 = 10log(20/R)` en dus `R = 10^(2,7) ~~ 501,19` m.
`L = L_0 - 10 log(2pi R)`
met
`L(20) = 80`
geeft
`L_0 = 80 + 10 log(40pi)`
.
Dus
`L = 80 + 10 log(40pi) - 10 log(2pi R) = 80 + 10 log(20/R)`
.
Na ongeveer `14` uur een `44` minuten.
`S'(t) = (text(-)0,00216)/(text(-)0,00216t + 2,7183) lt 0` zolang `0 le t le 16` .
`f'(x) = 1/(x ln(3)) = 10` geeft `x = 1/(10 ln(3))` .
`f'(x) = (text(-)2)/((11 - x)ln(10)) = 10` geeft `11 - x = (text(-)2)/(10 ln(10))` en dus `x = 11 + 2/(10 ln(10))` .
`f'(x) = 1/x = 10` geeft `x = 0,1` .
`N' = (text(-)8289,3*(1,778 - log(B) + 1/ln(10)))/(B^2)`
De teller is negatief voor `2 lt B lt 9` en de noemer is altijd positief, dus de afgeleide is negatief. Daarom geldt dat bij een bredere weg de veiligheid minder is dan bij een smallere weg.