Discrete kansmodellen

Opgave 12

Een volledig kaartspel bestaat uit $52$ kaarten, van elke kleur (ruiten, harten, klaveren en schoppen) evenveel. Uit zo'n kaartspel wordt zes keer een kaart getrokken. De kaart die je trekt wordt steeds in het spel terugstopt alvorens een nieuwe kaart te nemen. Het spel kaarten wordt voor iedere trekking geschud.

a

Waarom is hier sprake van een binomiaal kansmodel?

b

Hoe groot is dan de kans op hoogstens drie hartenkaarten?

c

Hoe groot is de kans dat je meer dan drie hartenkaarten trekt?

d

Waarom is er geen sprake van een binomiaal kansmodel als je de getrokken kaarten niet teruglegt?

Opgave 13

Iemand vult bij een meerkeuzetoets volkomen willekeurig $32$ keer een van de vier antwoordmogelijkheden in. Er is telkens maar één van deze keuzemogelijkheden juist. De toets wordt met een voldoende beoordeeld als er meer dan $22$ vragen juist zijn ingevuld.

a

Bepaal het aantal verwachte correcte antwoorden van de gokker.

b

Bepaal de kans dat de gokker toch een voldoende haalt.

c

Bepaal de standaardafwijking van het aantal goed gegokte antwoorden.

Opgave 14

Neem aan dat stochast $X$ binomiaal verdeeld is. Bepaal onderstaande kansen in vier decimalen nauwkeurig.

a

$P (X \leq 6 | n = 20 en p = 0,45)$

b

$P (X > 8 | n = 15 en p = 0,35)$

c

$P (X \geq 46 | n = 50 en p = 0,55)$

d

$P (X \leq 5 | n = 25 en p = 0,25)$

e

$P (X < 16 | n = 30 en p = 0,45)$

Opgave 15

$X$ is een binomiaal verdeelde toevalsvariabele. Voor welke waarde van $x$ geldt:

a

$P (X \leq x | n = 100 en p = 0,35) = 0,1236$

b

$P (X \leq x | n = 18 en p = 0,45) < 0,7473$

c

$P (X > x | n = 12 en p = \frac{1}{3}) < 0,1777$

Opgave 16

$X$ is een binomiaal verdeelde toevalsvariabele. Voor welke steekproefgrootte $a$ geldt:

a

$P (X \geq 4 | n = a en p = 0,20) < 0,40$

b

$P (X = 3 | n = a en p = 0,25) < 0,25$

Opgave 17

$X$ is een binomiaal verdeelde toevalsvariabele. Hoe groot moet de kans $p_{0}$ minstens zijn, als:

a

$P (X \leq 3 | n = 15 en p = p_{0}) > 0,2$

b

$P (X \geq 10 | n = 50 en p = p_{0}) < 0,2$

c

$P (X = 4 | n = 9 en p = p_{0}) > 0,2$

Opgave 18

Van een binomiaal verdeelde stochast $X$ weet je dat de verwachtingswaarde $2 \frac{2}{3}$ is. De standaardafwijking is $1 \frac{1}{3}$ .

Bereken $P (X = 4)$ .

Opgave 19

Je werpt met een geldstuk dat niet geheel eerlijk is. De kans op munt is $0,45$ . Je werpt $20$ keer met dit geldstuk. Bereken de kans op:

a

precies vijf keer kruis;

b

niet meer dan vijf keer kruis;

c

meer dan vijf keer kruis;

d

minder dan vijf keer kruis;

e

zeven of acht keer kruis.

Opgave 20

Een meerkeuzetoets bestaat uit $50$ vragen, elk met vier mogelijke antwoorden, waarvan er slechts één juist is.

a

Bereken de kans op $15$ goede antwoorden als je de vragen op goed geluk invult.

b

Bereken de kans op meer dan $15$ goede antwoorden bij willekeurig invullen van de toets.

De docente die deze toets heeft gemaakt wil de normering ervan vaststellen. De cijfers worden tot op één decimaal nauwkeurig berekend; het laagst mogelijke cijfer is 1,0 en het hoogst mogelijke 10,0. Zij wil bij het vaststellen van het cijfer het gokken van antwoorden zo min mogelijk belonen.

c

Ze zou er daartoe voor kunnen kiezen om het aantal verwachte goede antwoorden bij zuiver gokken niet te belonen. Verder werkt ze met een vast aantal punten per vraag. Welke normering zou ze dan het best kunnen hanteren?

d

Zij kan ook besluiten dat bij willekeurig invullen de kans op het cijfer $4,0$ of hoger bij benadering niet meer dan $3$ % mag zijn. Voor hoeveel goede antwoorden wordt dan het cijfer 4,0 gegeven?

e

Is de tweede methode soepeler dan de eerste? Licht je antwoord toe.

f

Stel je voor dat je op $30$ vragen zonder meer het antwoord weet en de rest gokt. Bereken bij elk van deze normeringen het cijfer dat je dan mag verwachten.

Ga er nu van uit dat er een zuivere lineaire puntenverdeling wordt gehanteerd:

bij $0$ tot $5$ vragen goed krijg je een 1,0;
bij $6$ vragen goed krijg je een 1,2;
bij $7$ vragen goed krijg je een 1,4;
enzovoorts;
bij $50$ vragen goed een 10,0.

g

Je weet op $30$ vragen het goede antwoord en besluit de rest van de vragen op goed geluk in te vullen. Welk cijfer kun je verwachten?

h

Bereken de kans dat je 7,6 of meer scoort.

i

Bij $n$ zeker goede antwoorden en de overige vragen willekeurig invullen is de kans op minstens 7,0 groter dan $90$ %. Bereken $n$ .

Verwerken