De inspectie voor het onderwijs vergelijkt van een bepaalde school de cijfers voor wiskunde B van het SE (schoolexamen) en het CE (centraal examen). In de tabel vind je de gegevens van een klas van $19$ leerlingen.

Een plus geeft aan dat de leerling het CE beter heeft gemaakt, een min dat het CE minder is gemaakt. Er zijn meer minnen dan plussen. Mag de inspectie op grond hiervan concluderen dat het CE significant slechter is gemaakt? (Neem een significantieniveau van $5$%.)

Normaal gesproken zou je verwachten dat ongeveer evenveel leerlingen beter als minder scoren op het CE als er geen afwijking is. De kans dat iemand een plus krijgt is dan $\mathrm{0,5}$. Het aantal plussen is daarom binomiaal verdeeld.
Bij zo'n tekentoets neem je altijd $p=\mathrm{0,5}$ als uitgangspunt, als nulhypothese. En je kijkt vervolgens alleen naar het teken van de score: een plus als hij beter is, een min als hij minder is. Is er geen afwijking, dan laat je dat resultaat weg: $n=18$ in dit geval.
Vanwege het vermoeden van de inspectie dat het CE slechter is gemaakt dan het SE is hier de alternatieve hypothese $p<\mathrm{0,5}$.

Bij $200$ worpen met een geldstuk vind je $115$ keer kop en $85$ keer munt. Mag je nu met een significantieniveau van $5$% concluderen dat het geldstuk niet eerlijk is?

Bij een eerlijk geldstuk verwacht je $100$ keer kop en $100$ keer munt, noem deze theoretische waarden $t_1$ en $t_2$. De experimenteel gevonden waarden zijn $x_1$ en $x_2$.
Bekijk nu ${{\rm X}}^2=\frac{{(x_1-t_1)}^2}{t_1}+\frac{{(x_2-t_2)}^2}{t_2}$
Hierin kan $x_1$ de waarden $0$ t/m $200$ aannemen en is $x_1+x_2=200$.
${{\rm X}}^2$ (chi-kwadraat) is dan een continue stochast die tegelijk een maat is voor de afwijking van de experimentele waarden en de theoretische waarden. Als ${{\rm X}}^2=0$ stemmen beide volledig overeen. Omdat hier $x_2$ vastligt als $x_1$ bekend is, is het aantal vrijheidsgraden $1$.

In dit geval is $x_1=115$ en $x_2=85$ en dus ${{\rm X}}^2=\mathrm{4,50}$.
Met de grafische rekenmachine vind je:
$P({{\rm X}}^2>\mathrm{4,50})=1-P(0\le {{\rm X}}^2\le \mathrm{4,50})\approx 1-\mathrm{0,9661}=\mathrm{0,0339}<\mathrm{0,05}$
Dus ligt $\mathrm{4,50}$ in het kritieke gebied van deze Chi-kwadraat toets en is de afwijking van een eerlijk geldstuk significant.

Dit voorbeeld is uit te breiden naar situaties met $n$ theoretische en evenveel experimentele waarden. Er zijn dan $n-1$ graden van vrijheid voor ${{\rm X}}^2$.