Lineair programmeren

Opgave 1

Je wilt het maximum berekenen van de doelfunctie `W = 3x + 4y - 10` onder de randvoorwaarden:

`x ge 30`
`0 le y le 40`
`x + 2y le 120`
`3x + y le 240`

a

Teken het toegestane gebied in een `x,y` -assenstelsel.

b

Teken de niveaulijnen `W = 250` en `W = 300` .

c

Bereken het maximum van `W` op het toegestane gebied.

Opgave 2

De firma Zoetlief produceert onder andere Zzmaks. Dit zijn repen die bestaan uit een vulling van `20` gram biscuit en `10` gram karamel, omhuld met `20` gram chocolade. De productiekosten bestaan uit verwerkingskosten (inclusief verpakking, transport en dergelijke) en grondstofkosten. De verwerkingskosten bedragen € 0,75 per reep. In de tabel zijn de kosten per `100` gram van iedere grondstof weergegeven.

grondstof	kosten per `100` gram
chocolade	€ 1,50
biscuit	€ 1,00
karamel	€ 1,00

Zzmaks worden verkocht voor € 1,50 per stuk.
Per week worden `60000` Zzmaks verkocht.

a

Bereken de totale winst die Zoetlief per week op Zzmaks maakt.

De directie van Zoetlief laat onderzoek doen naar de gevolgen van een eventuele wijziging van de samenstelling van de Zzmaks. Wegens de verkoop via automaten moet rekening gehouden worden met de volgende voorwaarden:

Het totale gewicht per reep moet `50` gram blijven.
De verkoopprijs per reep moet € 1,50 blijven.
In verband met de stevigheid mag een reep niet minder dan `5` gram biscuit en niet meer dan `13` gram karamel bevatten.
Om breken te voorkomen moet het omhulsel uit ten minste `14` gram chocolade bestaan.

Uit het onderzoek blijkt dat er meer Zzmaks verkocht zullen worden naarmate er meer chocolade en minder biscuit in zit.
Men vindt het volgende verband: `q = 20000 + 4000x - 2000y` .
Hierbij is `q` het per week verkochte aantal Zzmaks, `x` het aantal gram chocolade en `y` het aantal gram biscuit per Zzmak. De verwerkingskosten blijven bij elke samenstelling € 0,75 per reep.

De te verwachten totale winst in euro per week op Zzmaks is `W` .

b

Toon aan dat geldt: `W = (100 + 20x - 10y)(50 - x)` .

c

Stel de beperkende randvoorwaarden voor `x` en `y` op.

d

Teken het toegestane gebied met daarin de twee niveaulijnen `W = 5000` en `W = 10000` .

Opgave 3

Een fabrikant van auto’s produceert drie verschillende uitvoeringen van de "Libra" , een typische gezinsauto. Hij maakt die drie uitvoeringen in twee van zijn fabrieken. De dagelijkse productie in auto's per dag is weergegeven in de tabel.

	Libra GT	Libra GS	Libra Eco
fabriek I	10	30	50
fabriek II	20	20	20

Het komende halfjaar heeft de fabrikant bestellingen voor `800` auto's van het type "Libra GT" , `1600` auto's van het type "Libra GS" en `2000` auto's van het type "Libra Eco" . De productiekosten zijn € 20000 per fabriek per dag.

De fabrikant wil berekenen hoeveel dagen hij elke fabriek aan deze bestelling moet laten werken om de kosten zo laag mogelijk te houden.

Ga ervan uit dat als een fabriek een dag draait, dat dan ook het precieze aantal auto's wordt gefabriceerd dat de tabel geeft. Er worden bijvoorbeeld altijd 50 Libra Eco's gemaakt als fabriek I een dag draait.

a

Stel bij dit probleem de bijbehorende randvoorwaarden op en beschrijf de doelfunctie.

b

Teken het toegestane gebied en enkele niveaulijnen van de doelfunctie.

c

Los het probleem van de fabrikant op.

Opgave 4

Een gemeentebibliotheek koopt elk jaar nieuwe boeken. Hiervoor is in 2012 een bedrag van € 105000 beschikbaar.
In een vergadering van de hoofden van de drie afdelingen (jeugdboeken, romans en studieboeken) moet afgesproken worden hoe het bedrag over deze afdelingen zal worden verdeeld. Mevrouw De Rooy, hoofd van de afdeling romans, stelt voor het bedrag van € 105000 te verdelen volgens de verhouding van de uitleencijfers in 2010. Deze uitleencijfers zijn weergegeven in het staafdiagram.

Mevrouw Jansen, hoofd van de afdeling jeugdboeken, stelt voor om in totaal zo veel mogelijk nieuwe boeken aan te schaffen. Wel moet aan een aantal eisen voldaan zijn. Zij noemt:

de afdeling jeugdboeken en de afdeling romans moeten elk minstens `1200` boeken kunnen aanschaffen;
de afdeling studieboeken moet minstens `400` boeken kunnen aanschaffen;
de afdeling jeugdboeken krijgt niet meer geld dan de afdeling romans;
de afdeling jeugdboeken krijgt niet meer dan drie keer het bedrag van de afdeling studieboeken.

Bij het doorrekenen van haar voorstel gaat men van de volgende gemiddelde prijzen uit: € 15 voor een jeugdboek, € 24 voor een roman en € 30 voor een studieboek.

a

Bereken de bedragen die de afdelingen krijgen toegewezen als het voorstel van mevrouw De Rooy wordt uitgevoerd. Rond af op hele euro's.

b

Doe hetzelfde in geval dat het voorstel van mevrouw Jansen wordt uitgevoerd.

Mevrouw Smit vindt de vierde voorwaarde van mevrouw Jansen niet redelijk, immers studieboeken zijn veel duurder dan jeugdboeken. Zij stelt voor het getal `3` in die voorwaarde te vervangen door `2` .

c

Bereken opnieuw de bedragen die in dat geval naar elk van de afdelingen gaan.

(naar: examen vwo wiskunde A in 1991, eerste tijdvak)

Testen