De schaalverdeling op de verticale as loopt niet gelijkmatig op: tussen `1` en `10` zit evenveel afstand als tussen `10` en `100` .
Doen, je moet een rechte lijn krijgen.
Nee, op de verticale as zit tussen twee opeenvolgende streepjes steeds een factor `10` . De stappen worden dus steeds groter: van `1` naar `10` is een kleinere afstand dan van `10` naar `100` .
`B(5) = 6*2^5 = 6*32 =192`
, dus tussen
`100`
en
`1000`
.
De juiste plek vind je door de logaritme te berekenen:
`log(192)~~2,28`
.
Op vergelijkbare manier is
`B(10) = 6*2^(10) = 6144`
en
`log(6144)~~3,79`
.
`t` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `...` | `15` |
`log(B)` | `0,78` | `1,08` | `1,38` | `1,68` | `1,98` | `2,28` | `...` | `5,29` |
Zie figuur in de uitleg.
`log(B) = log(6 * 2^t) = log(6) + log(2^t) = log(6) + t*log(2)`
De grafiek wordt een rechte lijn door
`(0, log(6))`
en met richtingscoëfficiënt
`log(2)`
.
`x` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `...` | `15` |
`log(y)` | `0,30` | `0,78` | `1,26` | `1,73` | `2,21` | `2,69` | `...` | `7,46` |
De grafiek wordt een rechte lijn.
Op de verticale as krijg je van beneden naar boven de waarden `10^0=1` , `10^1=10` , `10^2=100` , `10^3=1000` enzovoort.
Aflezen:
`f(10) ≈ 120000`
.
GR:
`f(10) = 118098`
.
`log(y) = log(2 * 3^x) = log(2) + x*log(3)`
Zie de figuur.
`log(20)=1,30`
. Dus
`20~~10^(1,30)`
. Je plaatst
`20`
dus op
`1,30`
eenheden boven
`10^0`
, dat is tussen
`10^1`
en
`10^2`
.
`log(20000)=4,30` . Dus `20000~~10^(4,3)` . Je plaatst `20000` dus op `4,3` eenheden boven `10^0` , dat is tussen `10^4` en `10^5` .
`log(0,02)=text(-)1,69` . Dus `0,02~~10^(text(-)1,69)` . Je plaatst `0,02` dus op `1,69` eenheden onder `10^0` , dat is tussen `10^(text(-)2)` en `10^(text(-)1)` .
Zie de figuur bij a.
`log(1,80)=0,255`
. Dus
`1,8~~10^(0,225)`
.
Je plaatst
`1,80`
dus op
`0,255`
eenheden boven
`10^0`
, dat is tussen
`10^0`
en
`10^1`
.
Zie de figuur bij a.
`log(8884)=3,95`
. Dus
`8884~~10^(3,95)`
.
Je plaatst
`8884`
dus op
`3,95`
eenheden boven
`10^0`
, dat is tussen
`10^3`
en
`10^4`
.
Zie de figuur bij a.
`0,003`
mm
`=0,000003`
m en
`0,8`
mm
`=0,0008`
m.
`log(0,000003)=text(-)5,52`
. Dus
`0,00003~~10^(text(-)5,52)`
.
Je plaatst
`0,000003`
dus op
`5,52`
eenheden onder
`10^0`
, dat is halverwege tussen
`10^(text(-)5)`
en
`10^(text(-)6)`
.
`log(0,0008)=text(-)3,097`
. Dus
`0,0008~~10^(text(-)3,097)`
.
Je plaatst
`0,0008`
dus op
`3,097`
eenheden onder
`10^0`
, dat is net iets onder
`10^(text(-)3)`
.
`a = 10^(3,5) ≈ 3162`
Je krijgt een dalende rechte lijn door `(0, 12000) ~~ (0, 10^(4,08))` en `~~(10, 1288) ~~(10, 10^(3,11))` .
`log(N) = log(12000 * 0,8^t) = log(12000) + log (0,8^t) = log(12000) + t*log(0,8 )`
`log(y) = log(b*g^x) = log(b) + x*log(g)` . Omdat `log(b)` en `log(g)` constanten zijn, is dit een lineair verband tussen `log(y)` en `x` . Op enkellogaritmisch papier zet je `log(y)` uit tegen `x` , dus wordt dit een rechte lijn.
Omgekeerd: `log(y) = a*x + b` geeft `y = 10^(ax+b) = 10^(ax) * 10^b = 10^b * (10^a)^x = c*g^x` , waarbij `c = 10^b` en `g = 10^a` constanten zijn.
`A(2) ≈ 120`
`A(10) ≈ 1800`
`A(t) = b*g^t`
`A(2) ≈ 120 = b*g^2`
`A(10) ≈ 1800 = b*g^10`
Hieruit volgt: `g^8 ≈ 1800/120` en `g ≈ (1800/120)^(1/8) ≈ 1,40` en `b = 120/((1,40)^2) ~~ 61` .
`b` en `g` invullen geeft `A(t) = 61*1,40^t` .
Omdat je dan meteen kunt aflezen welke waarde `b` heeft.
`(0 , 10^0) = (0, 1)`
Lees de punten
`(text(-)4, 1000)`
en
`(5; 0,01)`
af.
`N(text(-)4) = b*g^(text(-)4) = 1000`
`N(5) = b*g^5 = 0,01`
Hieruit volgt:
`g^9 = (0,01)/1000 = 0,00001`
, zodat
`g = 0,00001^(1/9) ≈ 0,28`
.
Vervolgens invullen:
`0,01 = b*0,28^5`
, dus
`b = (0,01)/(0,28^5) ~~ 6`
. Dus
`N(t)≈6 *0,28^t`
.
`N(t) = 1`
geeft
`N(t) = 6*0,28^t = 1`
.
`0,28^t ~~ 0,167`
`t ≈ \ ^(0,28)log(0,167) ≈ 1,40`
Het snijpunt wordt ongeveer `(1,40; 1)` .
`N(t) ≈ 6 *0,28^t` is altijd positief, welke waarde je ook voor `t` invult.
De hoeveelheid decibel (het geluidsdrukniveau) geeft de logaritme aan van de effectieve geluidsdruk `p` .
`20 * log(p/(0,00002)) = 35` geeft `p = 0,00002 * 10^(35/20)` .
Afgerond `0,0011` Pa.
55 dB:
`55 = 20 * log(p/(0,00002))`
geeft
`p = 0,00002 *10^(55/20) ≈ 0,0112`
Pa.
95 dB:
`95 = 20 * log(p/(0,00002))`
geeft
`p = 0,00002 *10^(95/20) ≈ 1,1247`
Pa.
Dat is samen `1,1359` Pa en dat is `20 *log((1,1359)/(0,00002)) ≈ 95,1` dB, dus nauwelijks meer dan de drilboor alleen.
110 dB:
`110 = 20 * log(p/(0,00002))`
geeft
`p = 0,00002 *10^(110/20) ≈ 6,3246`
Pa.
130 dB:
`130 = 20 * log(p/(0,00002))`
geeft
`p = 0,00002 *10^(130/20) ≈ 63,2456`
Pa.
Dus tien keer zo groot.
`A(t) = 80000 *1,06^t`
De grafiek wordt een rechte lijn door `(0, 80000)` en `(10, 143268)` , dus ongeveer `(10, 14500)` .
Schatting: `A(15) ~~ 190000` .
Berekening: `A(15) = 8000*1,06^15 ≈ 191725` .
Voor `V(t) = b*g^t` geldt:
`V(0) = b*g^0 = 3`
`V(6) = b*g^6 = 7`
Dit levert:
`b=3`
en
`g^6 = 7/3 = 2 1/3`
, zodat
`g = (2 1/3)^(1/6) ≈ 1,15`
.
Een passende formule is dan
`V(t) ≈ 3 * 1,15^t`
.
Los op: `V(t) = 3*1,15^t = 5` .
`t = \ ^(1,15)log(5/3) ~~ 3,65` .
Los op: `V(t) = 3*1,15^t = 1` .
`t = \ ^(1,15)log(1/3) ~~ text(-)7,86`
Het getal `a` ligt ongeveer op `7/10` deel van de afstand tussen `10^2` en `10^3` .
Dus `a ~~ 10^(2,7)~~501` .
Bereken bijvoorbeeld `log(50)~~1,70` . Zo kun je de gegeven tabel omzetten naar een tabel waarin `log(N)` wordt uitgezet tegen `t` .
`t` (uur) | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `6` |
`log(N)` | `1,70` | `1,92` | `2,15` | `2,37` | `2,60` | `2,83` | `3,05` |
Ja, je krijgt ongeveer een rechte lijn door `(0; 1,70)` en `(4; 2,60)` .
Omdat de grafiek van `log(N(t))` bij benadering een rechte lijn is, is `N(t)` bij benadering een exponentiële functie.
De grafiek gaat door de punten `(0; 1,7)` en `(4; 2,6)` . Tussen deze twee punten bestaat een lineair verband van de vorm `y = ax +b` . Dat is hier dus `y = 0,225x + 1,7` . Vertaald naar het verband tussen `log(N)` en `t` wordt dit `log(N) ≈ 1,70 + 0,225 t` .
`N(t) ≈ 10^(1,70 +0,225 t) = 10^(1,70) * (10^(0,225))^t ≈ 50 *1,68^t`
`P = 100*0,94^u`
Los de vergelijking `100*0,94^u = 10` op.
`u~~37` uur
`log(P) = log(100*0,94^u) = log(100) + log(0,94^u) = log(0,94)*u + log(100) ~~ text(-)0,027u + 2`
De grafiek van `log(P)` heeft dus de vorm van een rechte lijn door `(0, 2)` met r.c. `~~text(-)0,027` .
De lijn gaat door de punten `(log(h), w) = (0, 2)` en `(log(h), w) = (2, 8)` .
De helling is dan `a=(8-2)/(2-0)=3` .
Invullen van `(2, 8)` levert je de waarde van `b` : `8=3*log(100)+b` . Dus `b=2` .
Het startgetal is dan gelijk aan `2` .
`log(m)≈0,1` en `log(P)≈2,4` .
Het is een rechte lijn, dus is de formule van de vorm
`log(P)=a*log(m)+b`
, door
`(0,1; 2,4)`
en
`(2,9; 2,0)`
.
Invullen in
`log(P) = a*log(m) + b`
geeft
`2,4 = 0,1a + b`
en
`2,0 = 2,9a + b`
. Dit geeft
`a = (text(-)0,4)/(2,8) ≈ text(-)0,14`
en
`b ≈ 2,41`
, dus
`log(P) ≈ text(-)0,14*log(m) + 2,41`
.
Ga uit van `log(P) ≈ text(-)0,14*log(m) + 2,41` en schrijf beide zijden als macht van `10` .
`P ≈ 10^(text(-)0,14*log(m) + 2,41) = (10^(log(m)))^(text(-)0,14) * 10^(2,41) ≈ m^(text(-)0,14) * 257`
`10^(1,1)≈12,59`
Zie figuur bij d.
Zie figuur bij d.
Bekijk de figuur.
Er is sprake van exponentiële groei.
`N(t)=40 *1,495^t` met `t` in weken.