Afgeleide functies

Afgeleide functies > Het begrip afgeleide

1234567Het begrip afgeleide

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

$1,5 t^{2} = 200$ geeft $t \approx 11,5$ .

$v = 3 t$ . Dit kun je vinden door de hellingsfunctie te tekenen. Dat wordt een rechte lijn, waar je dan wel een formule bij kunt maken.

Opgave 2

$\frac{(1, 2 \cdot 5^{2})}{(5)} = 6$ m/s

$\frac{(Δ a)}{(Δ t)} = \frac{(1, 2 \cdot {(5 + h)}^{2} - 1, 2 \cdot 5^{2})}{(5 + h - 5)} = \frac{(12 h + 1, 2 h^{2})}{(h)} = 12 + 1, 2 h$

$a' (5) = \lim_{h \to 0} (12 + 1,2 h) = 12$ m/s

Opgave 3

$\frac{(Δ a)}{(Δ t)} = \frac{(1, 2 \cdot {(t + h)}^{2} - 1, 2 \cdot t^{2})}{(t + h - t)} = \frac{(2, 4 t h + 1, 2 h^{2})}{(h)} = 2, 4 t + 1, 2 h$

$a' (5) = \lim_{h \to 0} (2,4 t + 1,2 h) = 2,4 t$ m/s

De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van $a (t)$ . Welke betekenis heeft $a' (5)$ in dit verband?

$a' (5)$ is de gemiddelde snelheid in de eerste $5$ seconden;

$a' (5)$ is de afgelegde weg in de eerste $5$ seconden;

$a' (5)$ is de snelheid op tijdstip $t = 5$

$a' (5) = 2, 4 \cdot 5 = 12$ m/s

$50$ km/h = $13 \frac{8}{9}$ m/s, dus je moet oplossen $2, 4 t = 13 \frac{8}{9}$ .
Dit geeft $t \approx 5, 79$ seconden.

Opgave 4

$\frac{(Δ y)}{(Δ x)} = \frac{((4 - 0, 25 {(1 + h)}^{2}) - (4 - 0, 25 \cdot 1^{2}))}{(1 + h - 1)} = \frac{(- 0, 5 h - 0, 25 h^{2})}{(h)} = - 0, 5 - 0, 25 h$

$f' (1) \underset{h \to 0}{= \lim} (- 0,5 - 0,25 h) = - 0,5$

$y = - 0, 5 x + 4, 25$

Opgave 5

$\frac{(Δ y)}{(Δ x)} = \frac{((4 - 0, 25 {(x + h)}^{2}) - (4 - 0, 25 x^{2}))}{(x + h - x)} = \frac{(- 0, 5 x - 0, 25 h^{2})}{(h)} = - 0, 5 x - 0, 25 h$
$f' (x) \underset{h \to 0}{= \lim} (- 0,5 x - 0,25 h) = - 0,5 x$

Dan moet $f' (x) = - 0, 5 x = - 2$ voor een bepaalde waarde van $x$ .
Dat is het geval als $x = 4$ . Het punt $(4, f (4)) = (4, 0)$ ligt ook op de lijn $y = - 2 x + 8$ .
En dus is deze lijn raaklijn van de grafiek van $f$ voor $x = 4$ .

Opgave 6

Eigen antwoord

Bereken de hellingwaarde voor $x = 2$ .

$3 x^{2} = 6, 75$ geeft $x = \pm 1, 25$ , dus $(- 1, 5; - 3, 375)$ en $(1, 5; 3, 375)$ .

Eigen antwoord

Welke van de volgende uitspraken zijn juist?

Als voor een bepaalde functie $g$ geldt dat $g' (0) = 0$ dan heeft deze functie een uiterste waarde voor $x = 0$

Als voor een bepaalde functie $g$ geldt dat $g' (0) = 0$ dan heeft deze functie een horizontale raaklijn voor $x = 0$ .

Als voor een bepaalde functie $g$ geldt dat er een uiterste waarde is voor $x = 0$ dan is $g' (0) = 0$ .

Als voor een bepaalde functie $g$ geldt dat de grafiek een horizontale raaklijn heeft voor $x = 0$ dan is $g' (0) = 0$ .

Opgave 7

$6$

$f' (x) = 2 x + 4$

$f' (1) = 2 \cdot 1 + 4 = 6$

In dat punt heeft de grafiek van $f$ een horizontale raaklijn. In dit geval is daar sprake van een minimum voor $f$ .

$f' (0) = 4$ en $f' (- 4) = - 4$

$f' (x) = 2 x + 4 = 2$ geeft $x = - 1$ , dus in $(- 1, - 3)$ .

Opgave 8

$49$ m/s

$s' (10) = \lim_{h \to 0} \frac{4,9 \cdot {(10 + h)}^{2} - 4,9 \cdot 10^{2}}{h} = 98$ m/s

$v (t) = s' (t) = 9, 8 t$

$120$ km/h = $33 \frac{1}{3}$ m/s en $s' (t) = 9, 8 t = 33 \frac{1}{3}$ geeft $t \approx 3, 40$ s.

Opgave 9

$f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = 0$

Opgave 10

$T O' (q) = 900 - 120 q$

$T O' (5)$ is de snelheid waarmee de opbrengst toeneemt (afneemt) bij toename van $q$ .

$T O' (q) = 900 - 120 q = 0$ als $q = 7, 5$ .
De grafiek van $T O$ is een bergparabool en heeft daarom een maximum bij $q = 7, 5$ .
De maximale opbrengst treedt op bij een verkoop van $750$ auto's per jaar.

Opgave 11

$\frac{(Δ H)}{(Δ t)} = \frac{(H (10) - H (0))}{(10)} \approx - 1, 79$ mg/L per dag

$H' (0) \approx - 4, 46$ en $H' (4) \approx - 1, 82$ mg/L per dag.
De afbreeksnelheid wordt steeds kleiner omdat de grafiek steeds minder sterk gaat dalen.

$\frac{(Δ H)}{(Δ t)} = \frac{(20 \cdot 0, 8^{(t + h)} - 20 \cdot 0, 8^{t})}{(h)}$ kun je niet zo herleiden dat de deling door $h$ is uit te voeren. Daarom kun je de limiet voor $h \to 0$ nu nog niet berekenen.

Opgave 12

$\frac{(Δ y)}{(Δ x)} = \frac{(f (4) - f (- 2))}{(4 - - 2)} = \frac{(28 - 10)}{6} = 3$

$f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{[1,5 {(x + h)}^{2} + 4] - [1,5 x^{2} + 4]}{h} = 3 x$

$f' (2) = 6$

$y = 6 x - 2$

Opgave 13

Differentiequotient opstellen; kwadraten uitwerken en vereenvoudigen. Antwoord is $0,2 q + 0,7$

Als $q \geq 0$ dan is $K' (q) \geq 0$ .

verder | terug