Afgeleide functies

Afgeleide functies > Het begrip afgeleide

1234567Het begrip afgeleide

Voorbeeld 1

Bekijk de applet.

Gegeven is de functie $f (x) = x^{2}$ .
Bereken de hellingwaarde van deze functie voor $x = 3$ .
Stel met behulp daarvan een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ voor $x = 3$ .

> antwoord

Het differentiequotiënt op het interval $[3, 3 + h]$ is gelijk aan

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{{(3 + h)}^{2} - 3^{2}}{h} = \frac{6 h + h^{2}}{h} = 6 + h$

zolang $h \neq 0$ . Als $h$ de waarde $0$ steeds dichter benadert, nadert dit differentiequotiënt naar de gevraagde hellingwaarde $f' (3) = 6$ . Dit is het hellingsgetal van de raaklijn voor $x = 3$ .
Deze raaklijn heeft daarom een vergelijking van de vorm: $y = 6 x + b$ .
Omdat $f (3) = 3^{2} = 9$ , gaat deze raaklijn door $(3, 9)$ .
Dit betekent dat: $9 = 6 \cdot 3 + b$ en dus geldt: $b = - 9$ .

De vergelijking van de gevraagde raaklijn is $y = 6 x - 9$ .

Opgave 4

Hier zie je de grafiek van de functie $f (x) = 4 - 0, 25 x^{2}$ met domein $[- 5, 5]$ .

De hellingwaarde van de grafiek voor $x = 1$ kun je bepalen met behulp van je grafische rekenmachine en met behulp van het differentiequotiënt op $[1, 1 + h]$ . In Voorbeeld 1 kun je nalezen hoe dat in zijn werk gaat.
Bereken het differentiequotiënt op $[1, 1 + h]$ .

Welke hellingwaarde heeft de grafiek nu voor $x = 1$ ?

Deze hellingwaarde is tevens de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek voor $x = 1$ . Stel een vergelijking van die raaklijn op.

verder | terug