Afgeleide functies

Afgeleide functies > Het begrip afgeleide

1234567Het begrip afgeleide

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie $f (x) = x^{2}$ .
Stel een voorschrift op voor de afgeleide van deze functie.
Stel met behulp daarvan een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ voor $x = 3$ .

> antwoord

Het differentiaalquotiënt voor willekeurige $x$ is gelijk aan

$\lim_{h \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2}}{h} = 2 x$

Dus de afgeleide is $f' (x) = 2 x$ .

Wil je nu de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van $f$ voor $x = 3$ , dan heb je het hellingsgetal nodig voor die waarde van $x$ . De afgeleide is het hellingsgetal van de grafiek van $f$ voor willekeurige $x$ , dus ook voor $x = 3$ : $f' (3) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Deze raaklijn heeft daarom een vergelijking van de vorm: $y = 6 x + b$ .
Omdat $f (3) = 3^{2} = 9$ , gaat deze raaklijn door $(3, 9)$ .
Dit betekent dat: $9 = 6 \cdot 3 + b$ en dus geldt: $b = - 9$ .

De vergelijking van de gevraagde raaklijn is $y = 6 x - 9$ .

Opgave 5

Gegeven is de functie $f (x) = 4 - 0, 25 x^{2}$ met domein $[- 5, 5]$ .

Met behulp van het differentiequotiënt op $[x, x + h]$ kun je de afgeleide van de functie $f (x)$ bepalen. Laat zien hoe dat gaat. Bekijk eventueel Voorbeeld 2.

De lijn met vergelijking $y = - 2 x + 8$ lijkt de grafiek te raken. Laat met een berekening zien dat dit inderdaad het geval is.

verder | terug