Afgeleide functies

Afgeleide functies > Het begrip afgeleide

1234567Het begrip afgeleide

Uitleg

Hier zie je een afstandsgrafiek van een versnellende zeilwagen. Voor de afgelegde afstand $a$ (in m) geldt $a = 1,2 t^{2}$ waarin $t$ de tijd in seconden is. De gemiddelde snelheid in m/s gerekend over de eerste $4$ seconden is het differentiequotiënt:

$\frac{Δ a}{Δ t} = \frac{1,2 \cdot 4^{2} - 1,2 \cdot 0^{2}}{4 - 0} = \frac{19,2}{4} = 4,8$

Omdat de zeilwagen aan het versnellen is, zal de snelheid op $t = 4$ hoger zijn dan de gemiddelde snelheid over de eerste $4$ seconden. Die snelheid op $t = 4$ kun je benaderen. Daarbij bereken je differentiequotiënten op steeds kleinere intervallen met $4$ als beginwaarde.

Neem het interval $[4, 4 + h]$ . Het differentiequotiënt op dat interval is:

$\frac{Δ a}{Δ t} = \frac{1,2 \cdot {(4 + h)}^{2} - 1,2 \cdot 4^{2}}{4 + h - 4} = \frac{9,6 h + 1,2 h^{2}}{h} = 9,6 + 1,2 h$ zolang $h \neq 0$ .

Bekijk de applet.

Dat is de gemiddelde snelheid in m/s op het interval $[4, 4 + h]$ . Laat je nu $h$ naar $0$ naderen, dan benadert $9,6 + 1,2 h$ de grenswaarde $9,6$ . Deze grenswaarde is de snelheid op $t = 4$ . Je noteert dit als $a' (4) = 9, 6$ .
$a' (4)$ is het differentiaalquotiënt voor $t = 4$ , de (veranderings)snelheid op $t = 4$ . In plaats van differentiaalquotiënt zeg je ook wel afgeleide waarde.

Hier zie je een afstandsgrafiek van de versnellende zeilwagen met de koorde die de gemiddelde snelheid op $[4, 4 + h]$ weergeeft.

De snelheid op $t = 4$ is de grenswaarde, de limiet van de gemiddelde snelheid op $[4, 4 + h]$ als $h$ naar $0$ nadert. Je noteert die afgeleide waarde zo:

$a' (4) = \lim_{h \to 0} \frac{1,2 \cdot {(4 + h)}^{2} - 1,2 \cdot 4^{2}}{(4 + h) - 4} = \lim_{h \to 0} \frac{9,6 h + 1,2 h^{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{9,6 + 1,2 h}{1} = 9,6$

Deze limiet is de snelheid op $t = 4$ . Het is ook de helling van de raaklijn aan de grafiek voor $t = 4$ .

Doe je ditzelfde limietproces voor willekeurige $t$ , dan krijg je

$a' (t) = \lim_{h \to 0} \frac{1,2 \cdot {(t + h)}^{2} - 1,2 \cdot t^{2}}{(t + h) - t} = \lim_{h \to 0} \frac{2,4 h + 1,2 h^{2}}{h} = 2,4 t$

$a' (t)$ heet de afgeleide functie of hellingsfunctie van $a (t)$ .

Opgave 2

Voor de afgelegde afstand $a$ van een versnellende zeilwagen in meter geldt: $a = 1, 2 t^{2}$ waarin de tijd in seconden is. In de Uitleg zie je een deel van de grafiek bij deze formule. De gemiddelde snelheid in m/s gerekend over de eerste $4$ seconden wordt berekend met behulp van een differentiequotiënt.

Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste $5$ seconden.

Je gaat nu de snelheid op $t = 5$ berekenen. Bereken eerst het differentiequotiënt op het interval $[5, 5 + h]$ en vereenvoudig de gevonden uitdrukking voor $h \neq 0$ .

Hoe groot is het differentiaalquotiënt en dus de snelheid op $t = 5$ ?

Opgave 3

Voor de afgelegde afstand $a$ van een versnellende zeilwagen in meter geldt: $a = 1, 2 t^{2}$ waarin $t$ de tijd in seconden is.

Je kunt zelf een formule afleiden voor de snelheid als functie van $t$ . Stel eerst het differentiequotiënt op het interval $[t, t + h]$ op.

Als $h$ de waarde $0$ nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van $t$ . Geef een formule voor de snelheid als functie van $t$ .

De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van $a (t)$ . Welke betekenis heeft $a' (5)$ in dit verband?

$a' (5)$ is de gemiddelde snelheid in de eerste $5$ seconden;

$a' (5)$ is de afgelegde weg in de eerste $5$ seconden;

$a' (5)$ is de snelheid op tijdstip $t = 5$

Hoe groot is $a' (5)$ ?

Met behulp van de afgeleide kun je vragen beantwoorden als: Op welk tijdstip rijdt de zeilwagen $50$ km/h?
Bereken het antwoord op die vraag in stappen:

Bereken hoeveel meter per seconde de snelheid bedraagt.
Stel de vergelijking op die je nu moet oplossen.
Bereken de oplossing.

verder | terug