Bekijk de applet.

De hellingwaarde van de grafiek van een functie $f$ voor een bepaalde waarde van $x$ benader je met het differentiequotiënt op het interval $[x,x+h]$. Je laat dan $h$ steeds dichter naar $0$ naderen en bekijkt of dit differentiequotiënt een bepaalde grenswaarde, een limiet nadert. Als dit het geval is krijg je het differentiaalquotiënt, de gevraagde hellingwaarde. Dat noteer je zo:

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Na delen door $h$ (met $h\ne 0$) blijft een uitdrukking over die alleen van $x$ afhangt als $h$ steeds dichter naar $0$ nadert. (Hoewel dat in de tekening niet zo is, mag $h$ ook negatief zijn!)
Dit is het differentiaalquotiënt $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ voor willekeurige x.

Deze functie van $x$ heet de afgeleide (functie). Je schrijft hem als $f\text{'}\left(x\right)$.

Deze afgeleide stelt het hellingsgetal van de grafiek van de functie $f$ voor willekeurige $x$ voor. Het is dus ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $f$ voor die waarde van $x$.

De grafiek van $f\text{'}\left(x\right)$ is de hellingsgrafiek van $f$.