Neem nu eens aan dat de formule voor een bepaalde $n$ geldt. En stel dat je kunt aantonen dat daaruit volgt dat hij dan ook voor $n+1$ geldt. Dan geldt hij voor alle gehele positieve waarden van $n$, want uit de geldigheid voor $n=1$ volgt dan die voor $n=1+1=2$ en daaruit die voor $n=2+1=3$, enzovoort...

Dus moet worden aangetoond: uit de regel geldt voor $n$ volgt dat hij geldt voor $n+1$.
Je neemt dus aan dat als $f(x)=c{x}^n$ dan is $f^{\prime }(x)=cn{x}^{n-1}$, ofwel:

$f\text{'}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c{(x+h)}^n-c{x}^n}{h}=nc{x}^{n-1}$

Nu naar $n+1$.
Aangetoond moet worden: als $f(x)=c{x}^{n+1}$ dan is $f(x)=(n+1)c{x}^n$.

Dat doe je zo:

$f\text{'}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c{(x+h)}^{n+1}-c{x}^{n+1}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h)\cdot c{(x+h)}^n-x\cdot c{x}^n}{h}=$
$\phantom{f\text{'}(x)}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(x\cdot \frac{c{(x+h)}^n-c{x}^n}{h}+\frac{h\cdot c{(x+h)}^n}{h}\right)=x\cdot nc{x}^{n-1}+c{x}^n=nc{x}^n+c{x}^n=(n+1)c{x}^n$

Je ziet dat je gebruik moet maken van de geldigheid van de stelling voor $n$.
Daaruit volgt dus de geldigheid voor $n+1$.

Omdat de stelling geldig is voor $n=1$, is hij dat nu ook voor $n=2,3,4,5,\mathrm{...}$
Deze manier van bewijzen noem je wel het dominoprincipe: als de eerste steen omvalt, vallen alle daarop volgende stenen ook. In de wiskunde heet deze manier van bewijzen: de bewijsmethode met volledige inductie. Daarbij bewijs je een stelling voor een bepaalde gehele waarde van $n$. Vervolgens bewijs je dat vanuit de geldigheid voor een willekeurige $n$ ook de geldigheid voor $n+1$ volgt. Als dat lukt, heb je de stelling bewezen voor elke gehele $n$ vanaf de gehele waarde waarmee je begon. En dat is ons hier gelukt...

$f\text{'}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x+h)+v(x+h)-(u(x)+v(x))}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right)$

en dus is $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)$.

Voor het verschil van twee functies gaat het bewijs op vergelijkbare wijze.