Afgeleide functies

Afgeleide functies > Transformaties en differentiëren

1234567Transformaties en differentiëren

Uitleg

Hier zie je de grafiek van de functie $f (x) = - x^{3} + 4 x$ (rood) samen met zijn afgeleide $f' (x) = -3 x^{2} + 4$ (blauw gestippeld).

Bekijk de applet

Je kunt nu zelf onderzoeken wat er met de afgeleide gebeurt als je op de gegeven functie een verschuiving of een vermenigvuldiging toepast. Ga met de applet na dat:

Als de grafiek van $f$ met $2$ eenheden in de $y$ -richting (dus omhoog) wordt verschoven ontstaat de grafiek van $f_{1} (x) = f (x) + 2$ die precies dezelfde vorm heeft als de grafiek van $f$ . (Hij ligt alleen hoger.) De hellingsgetallen veranderen door die verschuiving niet: de afgeleide van $f_{1}$ is hetzelfde als die van $f$ .
Kortweg: als $f_{1} (x) = f (x) + 2$ dan is $f_{1}' (x) = f' (x)$ .
Als de grafiek van $f$ met $2$ eenheden in de negatieve $x$ -richting (dus naar links) wordt verschoven ontstaat de grafiek van $f_{2} (x) = f (x + 2)$ . Op zich veranderen ook nu de hellingsgetallen niet, maar ze horen nu wel bij $x$ -waarden die structureel $2$ kleiner zijn.
Kortweg: als $f_{2} (x) = f (x + 2)$ dan is $f_{2}' (x) = f' (x + 2)$ .
Als je de grafiek van $f$ met $2$ vermenigvuldigt, worden alle functiewaarden $2$ keer zo groot en krijg je $f_{3} (x) = 2 \cdot f (x)$ . Nu worden ook alle hellingsgetallen $2$ keer zo groot.
Kortweg: als $f_{3} (x) = 2 \cdot f (x)$ dan is $f_{3}' (x) = 2 \cdot f' (x)$ .
Als je de grafiek van $f$ met $2$ vermenigvuldigt in de $x$ -richting, krijg je de grafiek van $f_{4} (x) = f (2 x)$ . Nu worden de hellingwaarden niet alleen $2$ keer zo groot, maar komen ze ook te voorschijn bij $x$ -waarden die de helft kleiner zijn. Kortweg: als $f_{4} (x) = f (2 x)$ dan is $f_{4}' (x) = 2 \cdot f' (2 x)$ .

Opgave 2

Voer de in de Uitleg 1 beschreven transformaties op de grafiek van $f (x) = - x^{3} + 4 x$ en zijn afgeleide uit. Ga na, dat je de resultaten vindt die daar zijn aangegeven.

Opgave 3

In de figuur hiernaast zie je de grafiek van de functie $f (x) = 0, 25 x^{4} - 4 x^{2}$ samen met zijn hellingsgrafiek, de grafiek van zijn afgeleide.

Maak de grafieken van $f$ en $g_{1} (x) = f (x) + 2$ met de grafische rekenmachine. De afgeleide van $g_{1}$ is

$g_{1}' (x) = f' (x)$
$g_{1}' (x) = f' (x) + 2$

Maak de grafieken van $f$ en $g_{2} (x) = 2 \cdot f (x)$ met de grafische rekenmachine. De afgeleide van $g_{2}$ is

$g_{2}' (x) = f' (x)$
$g_{2}' (x) = 2 \cdot (f' (x))$

Maak de grafieken van $f$ en $g_{3} (x) = f (x + 2)$ met de grafische rekenmachine. De afgeleide van $g_{3}$ is

$g_{3}' (x) = f' (x)$
$g_{3}' (x) = f' (x + 2)$

Maak de grafieken van $f$ en $g_{4} (x) = f (2 \cdot x)$ met de grafische rekenmachine. De afgeleide van $g_{4}$ is

$g_{4}' (x) = f' (2 \cdot x)$
$g_{4}' (x) = 2 \cdot (f' (2 \cdot x))$

Experimenteer met andere functies, en andere verschuivingen en vermenigvuldigingen. Ga na of je de differentieerregels voor transformaties van functies zoals die in de theorie staan zelf kunt vinden.

verder | terug