Afgeleide functies

Afgeleide functies > Extremen berekenen

1234567Extremen berekenen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Over probleemaanpak vind je meer bij de rubriek "Probleemaanpak" op de math4allsite. Dit probleem wordt in een voorbeeld opgelost, probeer er eerst zelf uit te komen en vergelijk dan later jouw antwoord met het voorbeeld.

Opgave 2

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

$f' (x) = 0$ als $x = \pm 1$ .

max. $f (- 1) = 3$ en min. $f (1) = 3$

Opgave 3

$f' (x) = 0, 3 x^{2} - 120$

$f' (x) = 0, 3 x^{2} - 120 = 0$ als $x^{2} = 400$ en dus $x = \pm 20$ .

max. $f (- 20) = 2320$ en min. $f (20) = - 2320$ .

Opgave 4

$x = 0$

Deze functie heeft voor $x = 0$ een horizontale raaklijn. Heeft de functie ook een extreme waarde voor $x = 0$ ?

Alleen de functie heeft er de waarde $0$ en $f' (0)$ is onbekend. Er is geen extreme waarde.

Opgave 5

$100 x^{2} = x^{2} {(x - 10)}^{2}$ geeft $x = 0 \lor x = 20$ , dus de snijpunten zijn $(0, 0)$ en $(20, 40000)$ .

$g' (x) = 4 x^{3} - 60 x^{2} + 200 x = 0$ geeft $x = 0 \lor x = 5 \lor x = 10$ .
Tekenschema van $g'$ of grafiek van $g$ bekijken geeft min. $f (0) = 0$ , max. $f (5) = 625$ en min. $f (10) = 0$ .

$a \cdot 5^{2} = 5^{2} {(5 - 10)}^{2}$ geeft: $a = 25$ .

Opgave 6

$2 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 21 = 800$ cm².

$2 x^{2} + 4 x h = 800$ geeft $h = \frac{800 - 2 x^{2}}{4 x}$ .

$I = x^{2} h = x^{2} \cdot \frac{800 - 2 x^{2}}{4 x} = 200 x - \frac{1}{2} x^{3}$

$I' (x) = 200 - 1 \frac{1}{2} x^{2} = 0$ geeft $x = \sqrt{133 \frac{1}{3}} \approx 11,547$ cm.

De afmetingen zijn $11,5$ bij $11,5$ bij $11,5$ cm.

Opgave 7

$f' (x) = 3 a x^{2} - 1 = 0$ als $x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 a}}$ .

max. $f (- \sqrt{\frac{1}{3 a}}) = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3 a}}$ en min. $f (\sqrt{\frac{1}{3 a}}) = - \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3 a}}$

$\frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3 a}} = 1$ geeft $a = \frac{4}{27}$ .

Opgave 8

Los op $4 - x^{2} = 4 - x$ . Je vindt als snijpunten $(0, 0)$ en $(1, 3)$ .

Neem $L$ voor de lengte van $P Q$ . Dan is $L = - k^{2} + k$ en $L^{'} = -2 k + 1$ . Dus is $L$ maximaal als $k = 0,5$ . De maximale waarde van $k$ is dan $0,25$ .

De oppervlakte $K$ is gelijk aan $K = 2 k (4 - k^{2})$ . De afgeleide hiervan is $K^{'} = 8 - 3 k^{2}$ . Door de afgeleide gelijk aan $0$ te stellen, kun je de $k$ -waarden van de extremen van $K$ berekenen: $k = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$ . De maximale waarde van $K$ zit bij $k = \sqrt{\frac{8}{3}}$ en is $\frac{8}{3} \sqrt{\frac{8}{3}}$ .

Opgave 9

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x = 0$ als $x = 0 \lor x = \pm 2$ .
Tekenschema $f'$ of grafiek $f$ : min. $f (- 2) = - 16$ , max. $f (0) = 0$ en min. $f (2) = - 16$ .

Opgave 10

De nulpunten van $f$ zijn $(\pm 20, 0)$ .
De nulpunten van $g$ zijn $(\pm 20, 0)$ en $(10, 0)$ .

Voor $f$ is differentiëren niet nodig: de grafiek is een bergparabool met max. $f (0) = 4000$ .
Voor $g$ geldt: $g' (x) = 3 x^{2} - 20 x - 400 = 0$ als $x = \frac{(20 \pm \sqrt{(5200)})}{(6)}$ .
De extremen van $g$ zijn: max. $g (- 8, 69) \approx 6064, 60$ en min. $g (15, 35) \approx - 879, 42$ .

$x \leq - 20 \lor 0 \leq x \leq 20$

Opgave 11

Sportveld: lengte $l$ m en breedte $2 r$ m waarin $r$ de straal van de twee halve cirkel is.
Nu geldt: $2 l + 2 π r = 400$ , dus $l = 200 - π r$ .
De oppervlakte van het sportveld is: $A = l \cdot 2 r = (200 - π r) \cdot 2 r = 400 r - 2 π r^{2}$ .
Maximum berekenen: $A' (r) = 400 - 4 π r = 0$ geeft $r = \frac{100}{(π)}$ .
Het sportveld heeft een lengte van $100$ m en een breedte van $\frac{200}{(π)}$ m.

Opgave 12

$\frac{(400 - 200)}{(500 - 400)} = 2$ euro per kg.

Maak een tabel van $T K (q)$ met de grafische rekenmachine en vergelijk de waarden met de gegeven tabel.

$T W = 225 q - T K = 225 q - (10 q^{3} - 60 q^{2} + 130 q) = - 10 q^{3} + 60 q^{2} + 95 q$

$M W (q) = T W' (q) = - 30 q^{2} + 120 q + 95$
$M W$ is de veranderingssnelheid van de winst bij toename van $q$ .

Zie figuur.

$M W = 0$ als $q = \frac{(- 120 \pm \sqrt{(25800)})}{60}$ .
De maximale winst is ongeveer $M W (4, 68) \approx 733, 71$ .

Opgave 13

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 a x = 0$ geeft $x = 0 \lor x = \pm \sqrt{(\frac{1}{2} a)}$ .
Dit betekent dat er alleen een minimum ongelijk aan $0$ kan zijn als $a > 0$ . Dat minimum is dan $f (\sqrt{(\frac{1}{2} a)}) = {(\frac{1}{2} a)}^{2} - a \cdot \frac{1}{2} a = - \frac{1}{4} a^{2}$ .
Het minimum is gelijk aan $- 1$ als $- \frac{1}{4} a^{2} = - 1$ en dus als $a = 2$ ( $a = - 2$ ) voldoet niet.

$f' (1) = 4 - 2 a$ en $f (1) = 1 - a$ , dus de raaklijn heeft vergelijking $y = (4 - 2 a) x + a - 3$ .
Aan deze vergelijking moet ook $(0, 4)$ voldoen: $4 = a - 3$ geeft $a = 7$ .

Opgave 14

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 p x = 0$ geeft $x = 0 \lor x = 4 p$ .
Als $p \neq 0$ heeft de grafiek van $f$ twee extremen.

$f (0) = - 16 \neq - 32$
$f (4 p) = - 32$ geeft $64 p^{3} - 96 p^{3} - 16 = - 32$ en dus $32 p^{3} = 16$ en $p = \sqrt[[3]]{(\frac{1}{2})}$ .
Er is dan sprake van een minimum.

Opgave 15

$f' (x) = - 4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ geeft $x = 0 \lor x = 1, 5$ .
min. $f (0) = 0$ en max. $f (1, 5) = 1, 6875$ .

$\frac{(d y)}{(d x)} = 3 x^{2} - 12 x = 0$ geeft $x = 0 \lor x = 4$ .
max. $f (0) = 0$ en min. $f (4) = - 32$ .

Opgave 16

Je moet hetzelfde vinden als bij b.

$f' (x) = 20 x^{4} - 160000 x = 0$ als $x = 0 \lor x = 20$ .
max. $f (0) = 2557$ en min. $f (20) = - 19197443$ .

$2$

Opgave 17

$I = x {(20 - 2 x)}^{2}$

$0 < x < 10$

$I' (x) = 400 - 160 x + 12 x^{2} = 0$ geeft $x = \frac{10}{3} \lor x = 10$ .
max. $I (\frac{10}{3}) = \frac{16000}{27}$ .

Opgave 18

Lineaire functies of (als ook $b = 0$ ) constante functies.

$f' (x) = 2 a x + b = 0$ geeft $x = - \frac{b}{(2 a)}$ .

Extreme waarde is $f (- \frac{b}{(2 a)}) = - \frac{(b^{2})}{(4 a)} + c$

verder | terug