Afgeleide functies

Opgave 9

Je ziet hier de grafiek van de functie $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ .
Bereken met behulp van differentiëren alle extremen van deze functie.

Opgave 10

Gegeven zijn de functies $f (x) = 4000 - 10 x^{2}$ en $g (x) = (x - 10) (x^{2} - 400)$ .

a

Om de grafieken van beide functies in beeld te krijgen op je grafische rekenmachine moet je de instellingen nogal aanpassen. Bereken eerst de nulpunten van beide functies.

b

Nu weet je welke waarden voor $x$ je het beste kunt instellen. Bereken de extremen van beide functies.

c

Je kunt nu de grafieken natuurlijk heel mooi in beeld krijgen. Los op: $f (x) \geq g (x)$ .

Opgave 11

Om een rechthoekig sportveld ligt een sintelbaan, bestaande uit twee rechte stukken en twee halve cirkels. De totale lengte van de sintelbaan is $400$ m. De afmetingen van het veld zijn zo gekozen dat de oppervlakte van het sportveld maximaal is. Bereken exact de afmetingen van dit sportveld.

Opgave 12

Een fabrikant van zelfrijzend bakmeel verkoopt dat voor € 2,25 per kilogram. Voor de kosten $T K$ voor productie en opslag geldt:

$q$ (in honderden kg)	1	2	3	4	5	6
$T K$ (in euro)	75	100	125	200	400	800

a

Hoeveel stijgt de winst gemiddeld per kilogram als de productie toeneemt van $400$ naar $500$ kg?

b

Voor de kosten heeft de fabrikant de formule $T K = 10 q^{3} - 60 q^{2} + 130 q$ laten opstellen. Ga na dat deze formule past bij de gegevens in de tabel.

c

Stel een formule op voor de winst als functie van $q$ .

d

Bereken de marginale winst bij een productie van $400$ kilo met behulp van $M W (q) = T W' (q)$ . Welke economische betekenis heeft dit getal?

e

Bereken de maximale winst met behulp van de functie $M W$ .

Opgave 13

Gegeven is voor elke waarde van $a$ de functie $f (x) = x^{4} - a x^{2}$ .

a

Voor welke waarden van $a$ is het minimum van deze functie gelijk aan $- 1$ ?

b

De raaklijn aan de grafiek van $f$ voor $x = 1$ gaat door het punt $(0, 4)$ . Voor welke waarde van $a$ is dit het geval?

Opgave 14

Voor elke positieve waarde van $p$ bestaat er een functie van de vorm $f (x) = x^{3} - 6 p x^{2} - 16$ .

a

Heeft elk van die functies extreme waarden? Licht je antwoord toe.

b

Voor welke waarde van $p$ heeft de gegeven functie een uiterste waarde van $- 32$ ? Is het dan een minimum of een maximum?

Verwerken