Afgeleide functies

Afgeleide functies > Extremen berekenen

1234567Extremen berekenen

Voorbeeld 1

Bereken de extremen van de functie $f (x) = 25 x^{4} - 800000 x - 12345$ .

> antwoord

Echt een functie waarvan je de grafiek niet zomaar goed in beeld krijgt met je grafische rekenmachine. Nu is het werken met de afgeleide erg handig.

Differentiëren levert op: $f' (x) = 100 x^{3} - 800000$ .

De volgende stap is $f' (x) = 100 x^{3} - 800000 = 0$ oplossen.
Dat geeft: $x = \sqrt[3]{8000} = 20$ .

Maak bijvoorbeeld een tekenschema van de afgeleide. Dat doe je door zowel links als rechts van $x = 20$ even een getal te kiezen en dit in de afgeleide in te vullen: $f' (0) = - 800000$ en $f' (25) = 1.482 .500 > 0$ .

Er is precies één extreme waarde, dat kun je aan het tekenschema van $f'$ ook zien:
min. $f (20) = 2.387 .655$ .

Opgave 3

Gegeven is de functie $f (x) = 0, 1 x^{3} - 120 x$ . Soms is een grafiek goed in beeld brengen nog lastig. Je kunt dan om te bepalen of er sprake is van een extreem en of het een maximum dan wel een minimum is, een tekenschema maken van de afgeleide. Zie Voorbeeld 1.

Bepaal de afgeleide van $f$ .

Bereken de nulwaarden van de afgeleide.

Maak een tekenschema van de afgeleide van $f$ . Geef er de plaats van de extremen in aan.

Opgave 4

Bekijk de grafiek van de functie $f (x) = x^{3}$ .

Bereken de waarden van $x$ waarin $f' (x) = 0$ .

Deze functie heeft voor $x = 0$ een horizontale raaklijn. Heeft de functie ook een extreme waarde voor $x = 0$ ?

Bekijk de grafiek van de functie $g (x) = | x |$ . Wat is er aan de hand in $x = 0$ ?

Opgave 5

Gegeven zijn de functies $f (x) = 100 x^{2}$ en $g (x) = x^{2} \cdot {(x - 10)}^{2}$ .

Bereken algebraïsch de snijpunten van beide grafieken.

Bereken met behulp van differentiëren de extremen van $g$ .

Als je het getal $100$ in het functievoorschrift van $f$ vervangt door een ander getal, gaat de grafiek door het punt waarin $g$ een maximum heeft. Door welk getal moet je $100$ vervangen? En hoeveel snijpunten hebben beide grafieken dan?

verder | terug