Afgeleide functies

Afgeleide functies > Extremen berekenen

1234567Extremen berekenen

Voorbeeld 2

Iemand bouwt in zijn schuur een rechthoekige opbergbak met bodem en zonder deksel. De breedte van de bak moet $6$ dm worden, meer ruimte is er niet. De inhoud van de bak moet $1$ m³ worden. De diepte en de hoogte van de bak kunnen nog variëren.

Bij welke diepte en welke hoogte wordt de totale oppervlakte van de bak minimaal? (Dan zijn waarschijnlijk de materiaalkosten het laagst.)

> antwoord

Noem de diepte $d$ en de hoogte $h$ , beide in dm.
Vanwege de inhoud van $1$ m³ = 1000 dm³, geldt: $1000 = 6 \cdot d \cdot h$ en dus $h = \frac{1000}{6 d}$ .

Voor de totale oppervlakte $A$ in m² geldt: $A = 6 d + 12 h + 2 d h$ .
Als je nu de eerder gevonden uitdrukking invult in de oppervlakteformule, vind je $A = 6 d + \frac{2000}{d} + \frac{1000}{3}$ .

Van deze functie van $d$ moet je het minimum bepalen. Omdat je een functie van deze vorm nog niet kunt differentiëren, doe je dat met behulp van de grafische rekenmachine. Ga na dat je vindt: $d \approx 18, 26$ . De bijbehorende waarde voor de hoogte kun je dan ook wel berekenen.

Opgave 6

Een fabrikant verpakt zijn hagelslag al jaren in doosjes met een vierkante bodem van $8$ bij $8$ cm . Ze hebben precies de vorm van een balk met een hoogte van $21$ cm.
Hij vraag zich nu af of hij de inhoud van het doosje kan vergroten door de afmetingen anders te kiezen, zonder echter meer karton te gebruiken. Het gaat er dus om de inhoud zo groot mogelijk te maken bij een gelijkblijvende oppervlakte. Het grondvlak blijft vierkant. Welke afmetingen moet hij kiezen?

Hoeveel karton heeft de fabrikant nodig voor zijn huidige doosjes?

Noem de zijde (in cm) van het grondvlak $x$ . Bepaal de hoogte $h$ van de doosjes uitgedrukt in $x$ .

Stel een formule op voor de inhoud van de doosjes.

Voor welke waarde van $x$ is de inhoud maximaal? (Maak gebruik van differentiëren.)

Bepaal de afmetingen van de doosjes met een maximale inhoud in millimeter nauwkeurig.

verder | terug