Afgeleide functies

Afgeleide functies > Extremen berekenen

1234567Extremen berekenen

Voorbeeld 3

Bekijk de applet.

Gegeven is de familie van functies $f_{a} (x) = x^{3} + a x$ .
Voor elke waarde van $a$ heb je hier met een andere functie te maken. Je kunt hier een paar grafieken van deze familie van functies zien door $a$ te variëren. Sommige functies $f_{a}$ hebben extremen, andere niet. De vraag is nu hoe de extremen van $f_{a}$ afhangen van de waarde van $a$ .

> antwoord

De afgeleide is $f_{a}' (x) = 3 x^{2} + a$ .
Deze afgeleide heeft als nulwaarden $x = \sqrt{- \frac{a}{3}} \lor x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .
Er zijn dus alleen nulwaarden als $a \leq 0$ omdat de wortels anders geen reële waarden opleveren. De twee mogelijkheden zijn:

Als $a = 0$ , dan is alleen $x = 0$ de nulwaarde. De afgeleide is dan $f_{0}' (x) = 3 x^{2}$ en is dus voor elke waarde van $x$ positief of $0$ . Er zijn geen extremen, in $(0, 0)$ heeft de grafiek een horizontale raaklijn.
Als $a < 0$ dan zijn er twee nulwaarden. De afgeleide is een dalparabool met twee nulpunten. Er is een maximum voor $x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ en een minimum voor $x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

Opgave 7

Gegeven is de functie $f (x) = a x^{3} - x$ , waarin $a$ een nog onbekende positieve constante is. Bekijk eventueel eerst even Voorbeeld 3.

Druk de waarde(n) van $x$ waarin de raaklijn aan de grafiek van $f$ evenwijdig aan de $x$ -as loopt uit in $a$ .

Druk de extremen van $f$ uit in $a$ .

Voor welke waarde van $a$ is de maximale waarde van $f$ gelijk aan $1$ ?

verder | terug