Afgeleide functies

Afgeleide functies > Extremen berekenen

1234567Extremen berekenen

Voorbeeld 4

Bekijk de applet.

Je ziet de grafieken van $f (x) = x^{2}$ en $g (x) = x^{3}$ De lijn $x = p$ met $0 < p < 1$ snijdt de grafieken van $f$ en $g$ in de punten $A$ en $B$ .
Bereken exact de maximale lengte van $A B$ .

> antwoord

Voor beide punten $A$ en $B$ geldt: $x = p$ .
$A$ ligt op de grafiek van $g$ en is dus $A (p, p^{3})$ .
$B$ ligt op de grafiek van $f$ en is dus $B (p, p^{2})$ .
De lengte $L$ van lijnstuk $AB$ is $L (p) = p^{2} - p^{3}$ . Een maximale waarde voor $L$ vind je door $L' (p) = 2 p - 3 p^{2} = 0$ . Ga na dat dit geeft: $p = 0 \lor p = \frac{2}{3}$ In de figuur zie je dat de maximale waarde van $L$ zit bij $p = \frac{2}{3}$ .
De bijbehorende maximale lengte is $L (\frac{2}{3}) = \frac{4}{27}$

Opgave 8

Gegeven zijn de functies $f$ en $g$ door $f (x) = 4 - x^{2}$ en $g (x) = 4 - x$ .

Bereken algebraïsch de snijpunten van beide grafieken.

De lijn $x = k$ snijdt de grafiek van $f$ in $P$ en die van $g$ in $Q$ . Bereken de grootste lengte van lijnstuk $P Q$ als $0 < k < 1$ .

De lijnen $x = k$ en $x = - k$ snijden de grafiek van $f$ in $P$ en in $R$ . Bovendien snijden ze de $x$ -as in $A$ en $B$ zo, dat vierhoek $A B C D$ een rechthoek is.

Welke exacte oppervlakte heeft deze rechthoek maximaal?

verder | terug