$x=0\vee x\approx \pm 1,76\vee x\approx \pm 1,58\vee x\approx \pm 1,90$

$x\approx \pm 0,55\vee x\approx \pm 1,38\vee x\approx \pm 1,78$

Dat het maximale aantal nulwaarden van een veelterm met hoogste exponent $n$ ook gelijk is aan $n$.

Nulpunten: $(\pm 1,0)$ en $(\pm \sqrt{\left(2\right)},0)$.

$f\text{'}\left(x\right)=4x^3-6x=0$ geeft $x=0\vee x=\pm \sqrt{\left(1\frac{1}{2}\right)}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{\left(6\right)}$.
Min.$f(-\frac{1}{2}\sqrt{\left(6\right)})=-\frac{1}{4}$, max.$f\left(0\right)=2$ en min.$f\left(\frac{1}{2}\sqrt{\left(6\right)}\right)=-\frac{1}{4}$.

$f"\left(x\right)=12x^2-6=0$ geeft $x=+=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)}=+=\frac{1}{2}\sqrt{\left(2\right)}$.
Buigpunten $(\pm \frac{1}{2}\sqrt{\left(2\right)},\frac{3}{4})$.

eigen antwoord

$f\left(x\right)=(x-1)(x^2-4x+1)=0$ geeft $x=1\vee x=2\pm \sqrt{\left(3\right)}$.
Nulpunten: $(1,0)$, $(2-\sqrt{\left(3\right)},0)$ en $(2+\sqrt{\left(3\right)},0)$.

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2-10x+5=0$ geeft $x=\frac{(10\pm \sqrt{\left(40\right)})}{6}$.
Extremen: max.$f\left(\frac{(10-\sqrt{\left(40\right)})}{6}\right)\approx 0,42$, min.$f\left(\frac{(10+\sqrt{\left(40\right)})}{6}\right)\approx -4,27$.

$f"\left(x\right)=6x-10=0$ geeft $x=\frac{5}{3}$.
Buigpunt: $(\frac{5}{3};-1,93)$.

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$ geeft met de GR: $x\approx -3,15\vee x=1$.
Oplossing: .

$x=-2\vee x=0\vee x=6$

$x=0\vee x=\sqrt[\left[3\right]]{(-40)}$

$x=0\vee x=\frac{(5\pm \sqrt{\left(41\right)})}{4}$

$x=0\vee x=\pm \sqrt{\left(6\right)}$

$f_c\text{'}\left(x\right)=2x^3-2cx=0$ geeft $x=0\vee x=\pm \sqrt{\left(c\right)}$. Er is tekenwisseling voor $x=0$.

$f_c\text{'}\left(x\right)=0$ en $f_c\left(x\right)=0$ geeft $c=0\vee c=2$.

$f_c"\left(x\right)=0$ en $f_c\left(x\right)=0$ geeft $c=3,6$.

$f_c\text{'}\left(1\right)=1$ geeft $c=0,5$.

$P\left(x\right)=x^2(2x-8)=0$ geeft $x=0\vee x=4$. Nulpunten: $(0,0)$ en $(4,0)$.
$P\text{'}\left(x\right)=6x^2-16x=0$ geeft $x=0\vee x=2\frac{2}{3}$. Toppen: $(0,0)$ en $(2\frac{2}{3},-\frac{512}{27})$.

$x^2(2x-8)=2x-8$ geeft $x^2=1\vee 2x-8=0$ en dus $x=\pm 1\vee x=4$.
Haakjes uitwerken is onnodig.

$x^2(2x-8)=-2x^2$ geeft $x^2=0\vee 2x-8=-2$ en dus $x=0\vee x=3$.
Oplossing: .

${\text{D}}_Q=\langle \leftarrow ,4\rangle \cup \langle 4,\to \rangle$
$Q$ is geen veeltermfunctie omdat de (staart)deling niet op $0$ uit komt.

Verticale asymptoot: $x=4$.
Omdat de hoogste macht in de teller groter is dan in de noemer gaat als $x\to \pm \infty$ ook $Q\left(x\right)\to \pm \infty$. ($\infty$ is het symbool voor "oneindig groot".)

${\text{B}}_Q=\langle \leftarrow ,0]\cup [8,\to \rangle$.

Nulpunt $(1,0)$.

Staartdeling: $f\left(x\right)=x^3+9x^2-15x+5=(x-1)(x^2+10x-5)$.
Dus $f\left(x\right)=0$ geeft $x=1\vee x=\frac{(-10\pm \sqrt{\left(120\right)})}{2}$ en dus zijn de andere nulpunten $(-10,48;0)$ en $(0,48;0)$.

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2+18x-15=0$ geeft $x=\frac{(-6\pm \sqrt{\left(56\right)})}{2}$. Toppen: $(0,74;-0,77)$ en $(-6,74;208,77)$.
$f"\left(x\right)=6x+18=0$ geeft $x=-3$. Buigpunt $(-3.104)$.

$f\text{'}\left(x\right)=-5$ geeft $x=\frac{(-18\pm \sqrt{\left(444\right)})}{6}$. Dus in $(0,51;-0,19)$ en $(-6,51;208,19)$.

$f\text{'}\left(0\right)=15$

$x^3-2x^2=3x-6$ geeft $x^2(x-2)=3(x-2)$ en dus $x=\pm \sqrt{\left(3\right)}\vee x=2$.

$0,5x^4+4x^3-6x-48=0$ geeft $(x+8)(0,5x^3-6)=0$ en dus $x=-8\vee x=\sqrt[\left[3\right]]{\left(12\right)}$.

$x^6-16x^3+60=(x^3-10)(x^3-6)=0$ geeft $x=\sqrt[\left[3\right]]{\left(6\right)}\vee x=\sqrt[\left[3\right]]{\left(10\right)}$.

$(x-1)(x^2-2)=0$ geeft $x=1\vee x=\pm \sqrt{\left(2\right)}$.

$f\left(x\right)=x^4-2x^2+8=(x^2-4)(x^2+2)$ geeft $x=\pm 2$. Nulpunten: $(\pm 2,0)$.
$f_1\text{'}\left(x\right)=4x^3-4x=0$ geeft $x=0\vee x=\pm 1$. Toppen: $(-1,7)$, $(0,8)$ en $(1,7)$.
$f_1"\left(x\right)=12x^2-4=0$ geeft $x=\pm \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)}$. Buigpunten: $(\pm \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)},7\frac{4}{9})$.

$f_p\text{'}\left(x\right)=0$ en $f_p\left(x\right)=0$ geeft $p=\pm \sqrt{(0,125)}$.

$f_p"\left(x\right)=0$ en $f_p\left(x\right)=0$ geeft $p=\pm \sqrt{(1,44)}$.

$h_4\left(x\right)=x^2(x+4)$ heeft voor $x=0$ en $x=-4$ de waarde $0$ en dus moet de grafiek door $O$ en $A$ gaan.
Voor $x=\pm 1$ heeft deze functie dezelfde waarden als $g_4$ en gaat de grafiek door de punten $B$ en $C$ die bij deze $x$-waarden horen en op de grafiek van $g_4$ liggen.

$h_4\left(x\right)=x^3+4x^2$ en $h_4\text{'}\left(x\right)=3x^2+8x$.
$h_4\text{'}\left(x\right)=0$ geeft $x=0\vee x=-\frac{8}{3}$; max.$h_4(-\frac{8}{3})=\frac{256}{27}$ en min.$h_4\left(0\right)=0$.

Zie het antwoord bij a. De lijnen $x=\pm 1$ en $y=0$.

$h_a\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax=0$ geeft $x=0\vee x=-\frac{2}{3}a$.
De toppen zijn $(0,0)$ en $(-\frac{2}{3}a,\frac{4}{27}{a}^3)$. Deze punten voldoen beide aan $y=-\frac{1}{2}{x}^2$.

$f_1\left(x\right)=x^3+12x^2+36x$ en $f_1\text{'}\left(x\right)=3x^2+24x+36$.
$f_1\text{'}\left(x\right)=0$ geeft $x=-6\vee x=-2$; max.$f(-6)=0$ en min.$f(-2)=-32$.

$f_c\text{'}\left(x\right)=0$ geeft $x=-6\vee x=-2$ en de toppen zijn $(-6,0)$ en $(-2,-32c)$.
$-32c=80$ geeft $c=-2,5$.

$f_c"\left(x\right)=6cx+24c=0$ geeft $x=-4$, dus buigpunt $(-4,-16c)$.

$f_c\text{'}(-4)=-12c$, dus de buigraaklijn heeft vergelijking $y=-12cx-64c$.
Deze lijn gaat door $(0,80)$ als $-64c=80$, dus $c=-1,25$.

Verticale asymptoten: $x=\pm \sqrt{\left(10\right)}$.
Horizontale asymptoot: $y=0$.

Teken de grafiek en bepaal de extremen met de rekenmachine: min.$f(1,6)\approx 3,2$ en max.$f(6,4)\approx 0,8$.
Bereik: $\langle \leftarrow ;0,8]\cup [3,2;\to \rangle$.

$\frac{(10x-40)}{(x^2-10)}=10x-40$ geeft $10x=40\vee \frac{1}{(x^2-10)}=1$ en dus $x=4\vee x=\pm \sqrt{\left(11\right)}$.
Je vindt $A\approx (-\sqrt{\left(11\right)};-73,17)$, $B\approx (\sqrt{\left(11\right)};-6,83)$ en $A=(-4,0)$.
$OA$ is het langst.

$2x^2+2xl=40$ en $I=x^2\cdot l$ geeft $I\left(x\right)=20x-x^3$.

$I>0$ en $x>0$ geeft .

$I\text{'}\left(x\right)=20-3x^2=0$ als $x=\pm \sqrt{\left(\frac{20}{3}\right)}$.
$I$ is maximaal als $x=\sqrt{\left(\frac{20}{3}\right)}\approx 2,58$. De bijbehorende maximale waarde voor $I$ is ongeveer $\mathrm{34,43}$ m³. Dus .

$f\left(x\right)=(x^2-4)(x^2-2)=0$ geeft $x=\pm 2\vee x=\pm \sqrt{\left(2\right)}$.
Nulpunten $(\pm 2,0)$ en $(\pm \sqrt{\left(2\right)},0)$.
$f\text{'}\left(x\right)=4x^3-12x=0$ geeft $x=0\vee x=\pm \sqrt{\left(3\right)}$.
Min.$f(\pm \sqrt{\left(3\right)})=-1$ en max.$f\left(0\right)=8$.

$x^4-6x^2+8=-2x^2+20$ geeft $x^4-4x^2-12=(x^2-6)(x^2+2)=0$ en dus $x=\pm \sqrt{\left(6\right)}$. De snijpunten zijn $(\pm \sqrt{\left(6\right)},8)$.

$f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)$ geeft $4x^3-12x=-4x$ en dus $x=0\vee x=\pm \sqrt{\left(2\right)}$.
Er zijn dus drie van die waarden.

$f_4\left(x\right)=x^4-4x^3+4x^2=0$ geeft $x=0\vee x=2$. Nulpunten $(0,0)$ en $(2,0)$.
$f_4\text{'}\left(x\right)=4x^3-12x^2+8x=0$ geeft $x=0\times x=1\vee x=2$. Min.$f_4\left(0\right)=f_4\left(2\right)=0$ en max.$f_4\left(1\right)=1$.
$f_4"\left(x\right)=12x^2-24x+8=0$ geeft $x=\frac{(6\pm \sqrt{\left(12\right)})}{6}$. Buigpunten $(\frac{(6\pm \sqrt{\left(12\right)})}{6},\frac{4}{9})$.

$f_4\left(x\right)=mx$ en $f_4\text{'}\left(x\right)=m$ geeft $x^4-4x^3+4x^2=(4x^3-12x^2+8x)x$.
Hieruit volgt $x=0\vee x=\frac{2}{3}\vee x=2$ en dan $m=0\vee m=\frac{64}{81}$ ($m=0$ vervalt).

$f_p\text{'}\left(x\right)=0$ geeft $x=0\vee x=\frac{(6\pm \sqrt{(36-8p)})}{8}$.
Dit levert drie waarden voor $x$ op als $36-8p>0$, dus , en er bovendien geen gelijke waarden voor $x$ tussen zitten, dus $p\ne 0$. Met een tekenschema voor $f_p\text{'}$ kun je nagaan dat er drie extremen zijn als $p<0\vee 0<p<4,5$.

$x=2\pm \sqrt{\left(2\right)}\vee x=-\frac{1}{2}$

Nulpunten $(-\frac{1}{2},0)$ en $(2,0)$. Toppen $(\frac{1}{3},\frac{125}{27})$ en $(2,0)$. Buigpunt $(\frac{7}{6},\frac{125}{54})$.

$a=0\vee a=6,25$

$f\text{'}\left(x\right)=2a$ heeft geen oplossingen voor $x$ als .