Afgeleide functies

Opgave 9

Gegeven is de derdegraadsfunctie $f$ met voorschrift $f (x) = x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 5$ .

a

Breng de grafiek van $f$ in beeld op je grafische rekenmachine. Welke nulpunten kun je aflezen?

b

Bereken algebraïsch de andere twee nulpunten in twee decimalen nauwkeurig. Controleer je antwoorden met je rekenmachine.

c

Bereken ook algebraïsch de toppen en het buigpunt van $f$ in twee decimalen nauwkeurig.

d

In welke punten van de grafiek van $f$ heeft de raaklijn een richtingscoëfficiënt van $- 5$ ?

e

Welk hellingsgetal heeft de grafiek van $f$ in het snijpunt met de $y$ -as?

Opgave 10

Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op:

a

$x^{2} (x - 2) = 3 x - 6$

b

$0, 5 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x = 48$

c

$0, 25 x^{6} = 4 x^{3} - 15$

d

$x^{3} - x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Opgave 11

Gegeven is de familie van functies $f_{p}$ door het voorschrift $f_{p} (x) = p x^{4} - 2 x^{2} + 8 p$ .

a

Bepaal algebraïsch de nulpunten, de toppen en de buigpunten van de grafiek.

b

Voor welke waarden van $p$ raakt de grafiek van $f_{p}$ de $x$ -as?

c

Voor welke waarden van $p$ liggen de buigpunten van de grafiek van $f_{p}$ op de $x$ -as?

Opgave 12

Gegeven zijn de functies

f (x) = x^{2}

en

g_{a} (x) = x + a

. In de figuur zie je de grafieken van

f

en

g_{4}

. Functie

h_{a}

is gegeven door

h_{a} = f (x) \cdot g_{a} (x)

.

a

Beredeneer dat de grafiek van $h_{4}$ door de punten $O$ , $A$ , $B$ en $C$ moet gaan.

b

Bereken de uiterste waarden van $h_{4}$ .

c

De snijpunten van de grafieken van $h_{a}$ en $g_{a}$ liggen op drie rechte lijnen. Welke?

d

Bewijs dat de toppen van de grafieken van $h_{a}$ op de kromme lijn met vergelijking $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ liggen.

Opgave 13

Gegeven zijn de functies $f_{c}$ door $f_{c} (x) = c x {(x + 6)}^{2}$ . Bekijk de grafieken van deze familie van functies op het domein $[- 8, 1]$ .

a

Bereken algebraïsch de extremen van $f_{1}$ op dit domein.

b

Alle functies $f_{c}$ hebben een extreme waarde voor $- 6 < x < 0$ . Voor welke waarden van $c$ is die extreme waarde gelijk aan $80$ ?

c

Druk de coördinaten van de buigpunten van de grafiek van $f_{c}$ uit in $c$ .

d

Voor welke waarde van $c$ gaat de raaklijn aan de grafiek van $f_{c}$ in het buigpunt door het het punt $(0, 80)$ ?

Opgave 14

Gegeven is de functie $f (x) = \frac{10 x - 40}{x^{2} - 10}$ .
Bekijk de grafiek van $f$ op de rekenmachine, voor $- 10 \leq x \leq 10$ .

a

Welke drie asymptoten heeft de grafiek van $f$ ? Leg uit hoe deze asymptoten uit het functievoorschrift zijn af te leiden.

b

Bepaal het bereik van $f$ in één decimaal nauwkeurig.

c

Voor welke waarden van $p$ heeft de vergelijking $f (x) = p$ precies twee oplossingen?

d

De lijn $y = 10 x - 40$ snijdt de grafiek van $f$ van links naar rechts in drie punten $A$ , $B$ en $C$ . Welke van de drie lijnstukken $O A$ , $O B$ of $O C$ is het langst?

Opgave 15

Voor het bouwen van een eenvoudige fietsenstalling is $40$ m² golfplaat beschikbaar.

Daarmee worden beide zijwanden, de achterwand en de bovenkant bekleed. Het geraamte van het bouwsel wordt zo gemaakt dat een zuiver rechthoekig blok ontstaat, dat even hoog als diep is.

a

Druk $l$ uit in $x$ en leid zo een formule af voor de inhoud van het rechthoekige blok als functie van $x$ .

b

Welke waarden kan $x$ aannemen?

c

Welke waarden kan de inhoud van de fietsenstalling aannemen?

Verwerken