Afgeleide functies

Afgeleide functies > Veeltermen

1234567Veeltermen

Voorbeeld 2

Bekijk de applet.

Gegeven is de familie van functies
$f_{p} (x) = x^{3} - p x^{2} + 9 x$ .
Voor welke waarden van $p$ heeft de grafiek van $f_{p}$ precies twee extremen? Toon ook aan dat elke functie van deze familie precies één buigpunt heeft.

> antwoord

Voor de extremen geldt:
$f_{p}' (x) = 3 x^{2} - 2 p x + 9 = 0$
Er zijn twee oplossingen als
$D = {(- 2 p)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 9 > 0$ .
Dit is het geval als: $p < \sqrt{(27)} \lor p > \sqrt{(27)}$ .
Omdat de grafiek van $f_{p}'$ dan een dalparabool is met twee nulpunten, wisselt de afgeleide ook van teken, zodat er inderdaad extremen te bewonderen zijn.

Voor de buigpunten geldt: $f_{p} " (x) = 6 x - 2 p = 0$ .
Deze vergelijking heeft voor elke $p$ precies één oplossing. De grafiek van $f_{p} "$ is een rechte lijn met een nulpunt en $f_{p} "$ wisselt dus van teken, er is een buigpunt.

Opgave 6

Bestudeer Voorbeeld 2. Je ziet hier een paar grafieken van functies van de vorm $f_{c} (x) = \frac{1}{2} x^{4} - c x^{2} + c$ op domein $[- 4, 4]$ .

Bewijs dat elke functie $f_{c}$ een extreme waarde heeft voor $x = 0$ .

Voor welke waarden van $c$ raakt de grafiek van $f_{c}$ de $x$ -as?

Voor welke waarden van $c$ liggen de buigpunten van de grafiek van $f_{c}$ op de $x$ -as?

Voor welke waarden van $c$ heeft de grafiek van $f_{c}$ voor $x = 1$ een hellingsgetal van $1$ ?

verder | terug