Afgeleide functies

Afgeleide functies > Veeltermen

1234567Veeltermen

Voorbeeld 3

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2}$ en $g (x) = x^{2} - 4$ zijn voorbeelden van functievoorschriften van veeltermfuncties.
$p (x) = f (x) \cdot g (x)$ is het product van deze veeltermfuncties.
Laat zien dat $p$ ook een veeltermfunctie is en leg uit waarom het aantal toppen van de grafiek van $p$ precies één meer is dan dat van $f$ en $g$ samen.

> antwoord

$p (x) = (x^{3} - 8 x^{2}) (x^{2} - 4) = x^{5} - 8 x^{4} - 4 x^{3} + 32 x^{2}$
Je ziet dat het functievoorschrift van $p$ inderdaad als veelterm kan worden geschreven.

De extremen vind je uit $p' (x) = 5 x^{4} - 42 x^{3} - 12 x^{2} + 64 x = 0$ .
Ondanks dat je $x$ buiten haakjes kunt halen, is deze vergelijking niet eenvoudig op te lossen.
Je moet de extremen van $p$ daarom met de GR bepalen.
Ga na, dat je vindt: max. $p (- 1, 44) \approx 37, 71$ , min. $p (0) = 0$ , max. $p (1, 37) \approx 26, 42$ en min. $p (6, 46) \approx - 2424, 9$ .

Bekijk je alle drie de grafieken, dan zie je dat $f$ twee, $g$ één en $p$ vier extremen heeft. Waarom dit zo is, zie je aan de hun afgeleiden. $f'$ heeft $2$ als hoogste macht, $g'$ heeft $1$ als hoogste macht en $p'$ heeft $4$ als hoogste macht. Die hoogste machten van de afgeleiden bepalen hoeveel extremen er hoogstens zijn.

Opgave 7

Gegeven zijn de functies $f (x) = x^{2}$ en $g (x) = 2 x - 8$ .
Bekijk de functie $P (x) = f (x) \cdot g (x)$ . Zie ook Voorbeeld 3.

Bereken algebraïsch de nulpunten en de toppen van $P$ .

Los op: $P (x) = 2 x - 8$ . Is het uitwerken van de haakjes hierbij nodig?

Los op: $P (x) \leq - 2 x^{2}$ .

verder | terug