Afgeleide functies

Afgeleide functies > Veeltermen

1234567Veeltermen

Uitleg

Hier zie je de grafiek van de functie $f (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 2) (x^{2} - 3) (x^{2} - 4)$ .
Werk je de haakjes uit, dan krijg je:
$f (x) = x^{8} - 10 x^{6} + 35 x^{4} - 50 x^{2} + 24$ .

De functie heeft een voorschrift dat bestaat uit een optelling (aftrekking) van machtsfuncties waarvan de exponent een geheel getal groter of gelijk aan $0$ is. Je noemt zo'n uitdrukking een veelterm of polynoom. Functie $f$ is een veeltermfunctie. In dit geval spreek je van een achtstegraads functie omdat $8$ de hoogte exponent van $x$ is die voorkomt. Er zijn ook acht nulpunten. Meer is onmogelijk, minder kan wel, volgens de hoofdstelling van de algebra.

Om extremen te bepalen ga je differentiëren.
$f' (x) = 8 x^{7} - 60 x^{5} + 140 x^{3} - 100 x = 0$ geeft hier $7$ oplossingen.
Meer is onmogelijk, minder kan wel, volgens de hoofdstelling van de algebra.

Om buigpunten te bepalen stel je de tweede afgeleide gelijk aan 0.
$f " (x) = 56 x^{6} - 300 x^{4} + 420 x^{2} - 100 = 0$ geeft hier $6$ oplossingen.
Meer is onmogelijk, minder kan wel, volgens de hoofdstelling van de algebra.

Opgave 2

In de Uitleg zie wat een veeltermfunctie is en hoe je er toppen en buigpunten van berekent.

Bepaal de $x$ -waarden van de toppen door de vergelijking $f' (x) = 8 x^{7} - 60 x^{5} + 140 x^{3} - 100 x = 0$ met de GR op te lossen.

Bepaal de $x$ -waarden van de buigpunten door de vergelijking $f " (x) = 56 x^{6} - 300 x^{4} + 420 x^{2} - 100 = 0$ met de GR op te lossen.

Kun je je voorstellen wat de hoofdstelling van de algebra inhoudt?

Opgave 3

Neem $f (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

Bereken algebraïsch de nulpunten van de grafiek van $f$ .

Bereken algebraïsch de extremen van $f$ .

Bereken algebraïsch de buigpunten van de grafiek van $f$ .

verder | terug