$f\text{'}\left(x\right)=20x^4-24x+60$

$E\text{'}\left(t\right)=1+t+\frac{1}{2}{t}^2+\frac{1}{6}{t}^3$

$f\text{'}\left(x\right)=12a{(ax+b)}^{11}$

$GTK\left(q\right)=0,5q^2-20q+60$ geeft $\frac{\text{d}GTK}{\text{d}q}=q-20$

$f\text{'}\left(x\right)=6x^2-4x^3=0$ geeft $x=0\vee x=1,5$.
Aan de grafiek zie je dat er in $(0,0)$ wel een horizontale raaklijn maar geen extreme waarde is. De enige extreme waarde is bij $x=1,5$.

$f"\left(x\right)=12x-12x^2=0$ geeft $x=0\vee x=1$. Dus $(1,1)$.

$f\text{'}\left(1\right)=2$ en dus is de buigraaklijn $y=2x-1$.

$0,5x^3-2x=-x^2-1,5x+1$ levert een derdegraads vergelijking op en die heeft maximaal $3$ oplossingen.

$0,5x^3-2x=-x^2-1,5x+1$ geeft $x^3+2x^2-x-2=(x+2)(x^2-1)=0$ en dus $x=-2\vee x=-1\vee x=1$.

$f\text{'}\left(x\right)=1,5x^2-2=0$ geeft $x=\pm \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)}$. Max.$f(-\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)})=1\frac{1}{3}\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)}$ en min.$f\left(\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)}\right)=-1\frac{1}{3}\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)}$.

$f"\left(x\right)=3x=0$ geeft $x=0$. Buigpunt: $(0,0)$.

$f(\text{'}0)=-2$ dus raaklijn $y=-2x$.
$-x^2-1,5x+1=-2x$ geeft $x^2-0,5x-1=0$ en dus $x=\frac{(0,5\pm \sqrt{(4,25)})}{2}$.
De gevraagde snijpunten zijn $(1,28;-2,56)$ en $(-0,78;1,56)$.

Gegeven vergelijking herschrijven.

$TO=pq=120q-10q^2$

$TW=TO-TK=-1,5q^3+12,5q^2$

$TW\text{'}\left(q\right)=-4,5q^2+25q=0$ geeft $q=0\vee q=\frac{50}{9}$.
$TW$ is maximaal bij $q=\frac{50}{9}$ en dan is $p\approx 64,44$ euro.

$GTK=T\frac{K}{q}=1,5q^2-22,5q+120$ en $GTK\text{'}\left(q\right)=3q-22,5=0$ als $q=7,5$.
Dus bij een afzet van $7500$ stuks.

$f\text{'}\left(x\right)=4x^3-12x^2+2px=0$ geeft $x=0\vee x=\frac{(6\pm \sqrt{(36-8p)})}{4}$.
Er is maar één nulwaarde als , dus als $p>4,5$.

$A=(1,-1+p)$ en $f\text{'}\left(1\right)=-8+2p$.
De raaklijn moet door $O(0,0)$, dus $-1+p=-8+2p$ zodat $p=7$.

Gebruik de GR: ${\text{B}}_{f=}[-4;3,39\rangle$.

$\frac{100x^2-400}{x^4+100}=\frac{80}{x^2}$ geeft $100x^4-400x^2=80x^4+8000$ en $x^4-20x^2-400=0$. Dit levert op $x^2=10\pm 10\sqrt{\left(5\right)}$ en $x=\pm \sqrt{(10+10\sqrt{\left(5\right)})}$.
Oplossing: .

$f\left(x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}$ geeft $f\left(x\right)=\pm 1$.
$f\left(x\right)=1$ geeft $x^2=\frac{100\pm \sqrt{\left(8000\right)}}{2}$ en dus $x\approx \pm 9,73\vee x\approx \pm 2,30$.
$f\left(x\right)=-1$ geeft $x^2=(100\pm \frac{\sqrt{\left(11200\right)}}{2})$ en dus $x\approx \pm 1,71$.
Oplossing: .

$f\text{'}\left(x\right)=4x^3-42x^2-40x+600$
Omdat er (bekijk de grafiek) bij $x=10$ een top zit is $f\text{'}\left(x\right)=(x-10)(4x^2-2x-60)$ (staartdeling). En dus is $f\text{'}\left(x\right)=0$ als $x=10\vee x=\frac{(2\pm \sqrt{\left(962\right)})}{8}$.
Toppen: $(10,0)$, $(-3,63;1598,30)$ en $(4,13;1441,60)$.
$f"\left(x\right)=12x^2-84x-40=0$ geeft $x=\frac{(21\pm \sqrt{\left(561\right)})}{6}$.
Buigpunten: $(7,45;652,47)$ en $(-0,45;-271,27)$.

$p=0\vee p\approx 1441,60$

$f\left(0\right)=0$ en $f\text{'}\left(0\right)=600$, dus de raaklijn is $y=600x$.
$f\left(x\right)=600x$ geeft $x=0\vee x=\frac{(14\pm \sqrt{\left(276\right)})}{2}$.
De gevraagde punten zijn $(15,3;9184,0)$ en $(-1,3;784,0)$.

Lengte = $l$, breedte = $2h$ en hoogte = $h$.
$l+8h=120$ en $I=l\cdot 2h^2$ geeft $I=2h^2(120-8h)=240h^2-16h^3$.
$I\text{'}\left(x\right)=480h-48h^2=0$ geeft $h=0\vee h=10$, alleen $h=10$ levert een maximum op.
$h=10$ betekent $b=20$ en $l=40$, dus $I=8000$ cm³.

Zelfde procedure als bij a, maar nu met $l+8h=p$ geeft: $h=\frac{1}{12}p$, $b=\frac{1}{6}p$ en $l=\frac{1}{3}p$. Inderdaad is dan $b=2h$ en $l=4h$.

Zie website. $x=\frac{\left(2v_0\right)}{g\cdot }sin\left(\alpha \right)cos\left(\alpha \right)$

$x$ is maximaal als $sin\left(\alpha \right)cos\left(\alpha \right)$ zo groot mogelijk is.
Maak hiervan een grafiek ($\alpha$ in graden) voor . Bij 45° vind je het maximum.

De bijbehorende grootste hoogte is $\frac{\left(v_0\right)}{\left(4g\right)}$.

Nulpunten: $f\left(x\right)=0$ geeft $x=\mathrm{-}\frac{1}{2}\vee x=\pm 2$, dus $(-\frac{1}{2},0)$, $(-2,0)$ en $(2,0)$.
Extremen: $f\text{'}\left(x\right)=6x^2+2x-8=0$ geeft $x=-1\frac{1}{3}\vee x=1$; max.$f(-1\frac{1}{3})=3\frac{19}{27}$ en min.$f\left(1\right)=-9$.

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$ geeft $x=0\vee x=\pm 2$.
Oplossing: .

De lengte van $AB$ is $f\left(p\right)-g\left(p\right)=2p^3-8p$.
De oppervlakte van $\Delta OAB$ is $-p^4+4p^2=3$ geeft $(p^2-3)(p^2-1)=0$.
Dit levert op $p=\mathrm{-}\sqrt{3}\vee p=-1$.

Lijn door $O$ heeft vergelijking $y=ax$. Raken aan de grafiek van $f$ betekent $a=f\text{'}\left(x\right)$ voor een bepaalde waarde van $x$.
Zo krijg je $2x^3+4x^2-8x-4=x(6x^2+2x-8)$ en dus $4x^3-2x^2+4=0$.
Deze vergelijking kun je alleen met de GR oplossen: $x\approx \mathrm{-0,858}$.
Het raakpunt wordt ongeveer $(\mathrm{-0,858};\mathrm{4,546})$ en de vergelijking van de raaklijn wordt $y=\mathrm{-5,30}x$.

als $v=17$ dan $h=–0,0185a^2+0,27a+2,50$.
$h\text{'}\left(a\right)=–0,037a+0,27=0$ geeft $a\approx 7,3$.
Daarbij hoort een maximale hoogte van $h\approx 3,5$ m.

$150$ km/u komt overeen met $\mathrm{41,67}$ m/s.
Volgens de grafiek hoort daar een hoek bij van ongeveer $-5$°.

Bij de netsituatie: als $a=12$ dan $h=1$.
Dit geeft: $\mathrm{-}\frac{\mathrm{5,16}}{v^2}\cdot {12}^2+\mathrm{0,18}\cdot 12+\mathrm{2,50}=1$ en dus $\frac{\mathrm{743,04}}{v^2}=\mathrm{3,66}$ en $v\approx \mathrm{14,25}$. Conclusie: (m/s) of (m/s).

$7$ meter voorbij het net betekent $a=19$ en de grond raken betekent $h=0$.